Банк задач по математике

Задача 1.1

Пусть $\Omega$ — непустое множество. Покажите, что $\mathcal{F} \equiv \left\{ \Omega , \emptyset \right\}$ и $\mathcal{G} = \mathcal{P}(\Omega ) \equiv \left\{ A: A \subset \Omega \right\}$ являются сигма-алгебрами.

?

Задача 1.2

Пусть $\Omega$ — конечное множество, т.е. число элементов в $\Omega$ конечно. Пусть $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(\Omega )$ — алгебра. Покажите, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй.

?

Задача 1.3

Покажите, что $\mathcal{F}_{6}$ из Примера 1.1.4 является сигма-алгеброй.

?

Задача 1.4

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{\theta }: \theta \in \Theta \right\}$ — семейство сигма-алгебр на $\Omega$ . Покажите, что $\mathcal{G} \equiv \bigcap_{\theta \in \Theta } \mathcal{F}_{\theta }$ также является сигма-алгеброй.

?

Задача 1.5

Пусть $\Omega = \left\{ 1,2,3\right\} , \mathcal{F}_{1} = \left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2,3\right\} , \Omega , \emptyset \right\} , \mathcal{F}_{2} = \left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 3\right\} , \Omega , \emptyset \right\}$ . Проверьте, что $\mathcal{F}_{1}$ и $\mathcal{F}_{2}$ обе являются алгебрами (более того, сигма-алгебрами), но $\mathcal{F}_{1} \cup \mathcal{F}_{2}$ алгеброй не является.

?

Задача 1.6

Пусть $\Omega$ — непустое множество и пусть $\mathcal{A} \equiv \left\{ A_{i}: i \in \mathbb {N}\right\}$ — разбиение $\Omega$ , т.е. $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ для всех $i \neq j$ и $\bigcup_{n \geq 1} A_{n} = \Omega$ . Пусть $\mathcal{F} = \left\{ \bigcup_{i \in J} A_{i} : J \subset \mathbb {N}\right\}$ , где для $J = \emptyset , \bigcup_{i \in J} A_{i} \equiv \bar{\emptyset }$ . Покажите, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй.

?

Задача 1.7

Пусть $\Omega$ — непустое множество и пусть $\mathcal{B} \equiv \left\{ B_{i}: 1 \leq i \leq k < \infty \right\} \subset \mathcal{P}(\Omega )$ , причём $\mathcal{B}$ не обязательно является разбиением. Найдите $\sigma \langle \mathcal{B}\rangle$ .

?

Задача 1.8

Пусть $\Omega \equiv \left\{ 1,2, \ldots \right\} = \mathbb {N}$ и $A_{i} \equiv \left\{ j: j \in \mathbb {N}, j \geq i\right\} , i \in \mathbb {N}$ . Покажите, что $\sigma \langle \mathcal{A}\rangle = \mathcal{P}(\Omega )$ , где $\mathcal{A} = \left\{ A_{i}: i \in \mathbb {N}\right\}$ .

?

Задача 1.9

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что любое открытое множество $A \subset \mathbb {R}$ является счётным объединением открытых интервалов. (Указание: используйте тот факт, что множество $\mathcal{Q}$ всех рациональных чисел плотно в $\mathbb {R}$ .)

(b)

Распространите вышесказанное на $\mathbb {R}^{k}$ для произвольного $k \in \mathbb {N}$ .

(c)

Усильте (a), показав, что открытые интервалы из (a) можно выбрать непересекающимися.

Задача 1.10

Покажите, что в Примере 1.1.6 $\mathcal{O}_{j} \subset \sigma \left\langle \mathcal{O}_{i}\right\rangle$ для всех $1 \leq i, j \leq 4$ .

?

Задача 1.11

Для $k \in \mathbb {N}$ пусть $\mathcal{O}_{5} \equiv \left\{ \left(a_{1}, b_{1}\right] \times \ldots \times \left(a_{k}, b_{k}\right]:-\infty < a_{i} < b_{i} < \infty , 1 \leq i \leq k\right\}$ и $\mathcal{O}_{6} \equiv \left\{ \left[a_{1}, b_{1}\right] \times \ldots \times \left[a_{k}, b_{k}\right]:-\infty < a_{i} < b_{i} < \infty , 1 \leq i \leq k\right\}$ . Покажите, что $\sigma \left\langle \mathcal{O}_{5}\right\rangle = \sigma \left\langle \mathcal{O}_{6}\right\rangle = \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$ .

?

Задача 1.12

Пусть $\mathcal{O}_{S} \equiv \left\{ \left\{ x\right\} : x \in \mathbb {R}^{k}\right\}$ — класс всех одноэлементных множеств в $\mathbb {R}^{k}, k \in \mathbb {N}$ . Покажите, что $\sigma \left\langle \mathcal{O}_{S}\right\rangle$ строго содержится в $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$ .

?

Задача 1.13

(a)(b)

Пусть $\overline{\mathbb {R}} \equiv \mathbb {R} \cup \left\{ +\infty \right\} \cup \left\{ -\infty \right\}$ — расширенная числовая прямая. Борелевская сигма-алгебра на $\overline{\mathbb {R}}$ , обозначаемая $\mathcal{B}(\overline{\mathbb {R}})$ , определяется как сигма-алгебра на $\overline{\mathbb {R}}$ , порождённая совокупностью $\mathcal{B}(\mathbb {R}) \cup \left\{ \infty \right\} \cup \left\{ -\infty \right\}$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathcal{B}(\overline{\mathbb {R}}) = \left\{ A \cup B: A \in \mathcal{B}(\mathbb {R}), B \subset \left\{ -\infty , \infty \right\} \right\}$ .

(b)

Покажите, однако, что сигма-алгебра на $\overline{\mathbb {R}}$ , порождённая $\mathcal{B}(\mathbb {R})$ , имеет вид $\sigma \langle \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle = \left\{ A \cup B: A \in \mathcal{B}(\mathbb {R}), B = \left\{ -\infty , \infty \right\} \text{ или } B = \emptyset \right\}$ .

Задача 1.14

Пусть $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}$ и $\mathcal{A}_{3}$ обозначают соответственно класс треугольников, кругов и пятиугольников в $\mathbb {R}^{2}$ . Покажите, что $\sigma \left\langle \mathcal{A}_{i}\right\rangle \equiv \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ . Таким образом, сигма-алгебра $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ (и аналогично $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$ ) может быть порождена, если начать с различных классов множеств разной формы и геометрии.

?

Задача 1.15

Пусть $\Omega$ — непустое множество и $\mathcal{B}$ — сигма-алгебра на $\Omega$ . Пусть $A \subset \Omega$ и $\mathcal{B}_{A} \equiv \left\{ B \cap A: B \in \mathcal{B}\right\}$ . Покажите, что $\mathcal{B}_{A}$ является сигма-алгеброй на $A$ . Сигма-алгебра $\mathcal{B}_{A}$ называется следом сигма-алгебры $\mathcal{B}$ на $A$ .

?

Задача 1.16

Пусть $\Omega = \mathbb {R}$ и $\mathcal{F}$ — совокупность всех конечных объединений непересекающихся интервалов вида $(a, b] \cap \mathbb {R},-\infty \leq a < b \leq \infty$ . Покажите, что $\mathcal{F}$ является алгеброй, но не сигма-алгеброй.

?

Задача 1.17

Пусть $\Omega$ — непустое множество и $\left\{ A_{i}\right\}_{i \in \mathbb {N}}$ — последовательность подмножеств $\Omega$ , такая что $A_{i+1} \subset A_{i}$ для всех $i \in \mathbb {N}$ . Проверьте, что $\mathcal{A} = \left\{ A_{i}: i \in \mathbb {N}\right\}$ является $\pi$ -системой, и найдите также $\lambda \langle \mathcal{A}\rangle$ — $\lambda$ -систему, порождённую $\mathcal{A}$ .

?

Задача 1.18

Пусть $\Omega \equiv \mathbb {N}, \mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega )$ , и $A_{n} = \left\{ j: j \in \mathbb {N}, j \geq n\right\} , n \in \mathbb {N}$ . Пусть $\mu$ — считающая мера на $(\Omega , \mathcal{F})$ . Проверьте, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \mu \left(A_{n}\right) \neq \mu \left(\bigcap_{n \geq 1} A_{n}\right)$ .

?

Задача 1.19

(a)(b)

Пусть $\Omega$ — непустое множество и пусть $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\Omega )$ — полуалгебра. Пусть

\mathcal{A}(\mathcal{C}) \equiv \left\{ A: A = \bigcup _{i = 1}^{k} B_{i}: B_{i} \in \mathcal{C}, i = 1,2, \ldots , k, k \in \mathbb {N}\right\}

?

(a)

Покажите, что $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ является наименьшей алгеброй, содержащей $\mathcal{C}$ .

(b)

Покажите также, что $\sigma \langle \mathcal{C}\rangle = \sigma \langle \mathcal{A}(\mathcal{C})\rangle$ .

Задача 1.20

Пусть $\mu^{*}$ — как в (3.1) Раздела 1.3. Проверьте (3.4)-(3.6).

?

Задача 1.21

Докажите Предложение 1.3.1.

?

Задача 1.22

(a)(b)(c)

Пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — неубывающая функция. Пусть $(a, b],\left(a_{n}, b_{n}\right], n \in \mathbb {N}$ — интервалы в $\mathbb {R}$ , такие что $(a, b] = \bigcup_{n \geq 1}\left(a_{n}, b_{n}\right]$ и $\left\{ \left(a_{n}, b_{n}\right]: n \geq 1\right\}$ не пересекаются. Пусть $\mu_{F}(\cdot )$ — как в (3.8). Покажите, что $\mu_{F}((a, b]) = \sum_{n = 1}^{\infty } \mu_{F}\left(\left(a_{n}, b_{n}\right]\right)$ , выполнив следующие шаги:

?

(a)

Пусть $G(x) \equiv F(x+)$ для всех $x \in \mathbb {R}$ и пусть $G(\pm \infty ) = F(\pm \infty )$ . Проверьте, что $G(\cdot )$ неубывающая и непрерывна справа на $\mathbb {R}$ и что для любого $A$ из $\mathcal{C}, \mu_{F}(A) = \mu_{G}(A)$ .

(b)

С учётом (a), считайте без ограничения общности, что $F(\cdot )$ непрерывна справа. Покажите, что для любого $k \in \mathbb {N}$

F(b)-F(a) \geq \sum _{i = 1}^{k}\left(F\left(b_{i}\right)-F\left(a_{i}\right)\right)

и заключите, что

F(b)-F(a) \geq \sum _{i = 1}^{\infty }\left(F\left(b_{i}\right)-F\left(a_{i}\right)\right)

(c)

Чтобы доказать обратное неравенство, зафиксируйте $\eta > 0$ . Выберите $c > a$ и $d_{n} > b_{n}, n \geq 1$ , такие что $F(c)-F(a) < \eta ,[c, b] \subset \bigcup_{n \geq 1}\left(a_{n}, d_{n}\right)$ и $F\left(d_{n}\right)-F\left(b_{n}\right) < \eta / 2^{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$ . Далее примените теорему Гейне-Бореля к интервалу $[c, b]$ и открытому покрытию $\left\{ \left(a_{n}, d_{n}\right)\right\}_{n \geq 1}$ и выделите конечное покрытие $\left\{ \left(a_{i}, d_{i}\right)\right\}_{i = 1}^{k}$ для $[c, b]$ . Без ограничения общности считайте, что $c \in \left(a_{1}, d_{1}\right)$ и $b \in \left(a_{k}, d_{k}\right)$ . Теперь проверьте, что

\begin{aligned} F(b)-F(a) & \leq \sum _{j = 1}^{k}\left(F\left(b_{j}\right)-F\left(a_{j}\right)\right)+2 \eta \\ & \leq \sum _{j = 1}^{\infty }\left(F\left(b_{j}\right)-F\left(a_{j}\right)\right)+2 \eta \end{aligned}

Задача 1.23

Распространите вышеприведённые рассуждения на случай, когда $(a, b]$ и $\left(a_{i}, b_{i}\right], i \geq 1$ не обязательно являются ограниченными интервалами.

?

Задача 1.24

Проверьте, что $\mathcal{C}_{2}$ , определённое в (3.11), является полуалгеброй.

?

Задача 1.25

(a)(b)

?

(a)

Проверьте, что предел в (3.13) существует.

(b)

Распространите рассуждения из Задач 1.22 и 1.23, чтобы проверить, что $\mu_{F}$ из (3.12) и (3.13) является мерой на $\mathcal{C}_{2}$ .

Задача 1.26

(a)(b)

Установите Теорему 1.3.6, выполнив следующее:

?

(a)

Предположим сначала, что $\nu (\Omega ) < \infty$ . Проверьте, что $\mathcal{L} \equiv \left\{ A: A \in \sigma \langle \mathcal{C}\rangle , \mu^{*}(A) = \nu (A)\right\}$ является $\lambda$ -системой, и используйте $\pi -\lambda$ -теорему.

(b)

Распространите вышесказанное на сигма-конечный случай.

Задача 1.27

Докажите Следствие 1.3.5 для меры Лебега $m(\cdot )$ .

?

Задача 1.28

Пусть $F$ — дискретная функция распределения, т.е. $F$ имеет вид

F(x) \equiv \sum _{j = 1}^{\infty } a_{j} I\left(x_{j} \leq x\right), \quad x \in \mathbb {R}

где $0 < a_{j} < \infty , \sum_{j \geq 1} a_{j} = 1, x_{j} \in \mathbb {R}, j \geq 1$ . Покажите, что $\mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}} = \mathcal{P}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 1.29

Пусть

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ для } x < 0 \\ x & \text{ для } 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & \text{ для } x > 1 \end{cases}

Покажите, что $\mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}} \equiv \left\{ A: A \in \mathcal{P}(\mathbb {R}), A \cap [0,1] \in \mathcal{M}\right\}$ , где $\mathcal{M}$ — сигма-алгебра измеримых по Лебегу множеств, как в Определении 1.3.7.

?

Задача 1.30

Пусть $F(\cdot ) = \frac{1}{2} \Phi (\cdot )+\frac{1}{2} F_{P}(\cdot )$ , где $\Phi (\cdot )$ — функция распределения стандартного нормального закона, т.е.

\Phi (x) \equiv \int _{-\infty }^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{-u^{2} / 2} A u \quad \text{и} \quad F_{P}(x) \equiv \sum _{k = 0}^{\infty } e^{-2} \frac{2^{k}}{k!} I_{(-\infty , x]}^{(k)}, x \in \mathbb {R}

Пусть $F_{1} = \Phi , F_{2} = F_{P}$ и $F_{3} = F$ . Пусть

\begin{align} A_{1} & = (0,1), \\ A_{2} & = \left\{ x: x \in \mathbb {R}, \sin x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \right\} , \\ A_{3} & = \left\{ x:\text{ для некоторых целых } a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{k}, k < \infty , \; \sum _{i = 0}^{k} a_{i} x^{i} = 0\right\} \text{ — множество всех алгебраических чисел.} \end{align}

Вычислите $\mu_{F_{i}}\left(A_{j}\right)$ , $1 \leq i, j \leq 3$ .

?

Задача 1.31

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mu$ — мера на полуалгебре $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\Omega )$ , где $\Omega$ — непустое множество. Пусть $\mu^{*}$ — внешняя мера, порождённая $\mu$ , и пусть $\mathcal{M}_{\mu^{*}}$ — сигма-алгебра $\mu^{*}$ -измеримых множеств, как определено в Теореме 1.3.3.

?

(a)

Покажите, что для всех $A \subset \Omega$ существует $B \in \sigma \langle \mathcal{C}\rangle$ такое, что $A \subset B$ и $\mu^{*}(A) = \mu^{*}(B)$ .

(b)

Покажите, что для всех $A \in \mathcal{M}_{\mu^{*}}$ с $\mu^{*}(A) < \infty$ существует $B \in \sigma \langle \mathcal{C}\rangle$ , такое что $A \subset B$ и $\mu^{*}(B \backslash A) = 0$ .

(c)

Покажите, что если $\mu$ сигма-конечна (т.е. существуют множества $\Omega_{n}, n \geq 1$ в $\mathcal{C}$ , такие что $\mu \left(\Omega_{n}\right) < \infty$ для всех $n \geq 1$ и $\bigcup_{n \geq 1} \Omega_{n} = \Omega$ ), то в (b) условие $\mu^{*}(A) < \infty$ можно опустить.

(d)

Покажите, что если $\mu$ сигма-конечна, то $A \in \mathcal{M}_{\mu^{*}}$ тогда и только тогда, когда существуют множества $B_{1}, B_{2} \in \sigma \langle \mathcal{C}\rangle$ , такие что $B_{1} \subset A \subset B_{2}$ и $\mu^{*}\left(B_{2} \backslash B_{1}\right) = 0$ .

Это показывает, что $\mathcal{M}_{\mu^{*}}$ является пополнением $\sigma \langle \mathcal{C}\rangle$ относительно $\mu^{*}$ .

Задача 1.32

Пусть $\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}, \mu_{F}^{*}\right)$ — пространство с мерой Лебега-Стилтьеса, порождённой непрерывной справа неубывающей функцией $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ .

?

(a)

Покажите, что $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ тогда и только тогда, когда существуют борелевские множества $B_{1}$ и $B_{2} \in \mathcal{B}(\mathbb {R})$ , такие что $B_{1} \subset A \subset B_{2}$ и $\mu_{F}^{*}\left(B_{2} \backslash B_{1}\right) = 0$ .

(b)

Пусть $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ с $\mu_{F}^{*}(A) < \infty$ . Покажите, что для любого $\epsilon > 0$ существует конечное число ограниченных открытых интервалов $I_{j}, j = 1,2, \ldots , k$ , таких что $\mu_{F}^{*}\left(A \triangle \bigcup_{j = 1}^{k} I_{j}\right) < \epsilon$ .

(c)

Пусть $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ с $\mu_{F}^{*}(A) < \infty$ . Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует открытое множество $O$ , такое что $A \subset O$ и $\mu_{F}^{*}(O \backslash A) < \epsilon$ .

(d)

Распространите (c) на все $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ .

(e)

Покажите, что для всех $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ и для всех $\epsilon > 0$ существуют замкнутое множество $C$ и открытое множество $O$ , такие что $C \subset A \subset O$ и $\mu_{F}^{*}(O \backslash A) \leq \epsilon , \mu^{*}(A \backslash C) < \epsilon$ .

(f)

Покажите, что для всех $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ с $\mu_{F}^{*}(A) < \infty$ и для всех $\epsilon > 0$ существует замкнутое и ограниченное множество $F \subset A$ , такое что $\mu_{F}^{*}(A \backslash F) < \epsilon$ , а также открытое множество $O$ с $A \subset O$ , такое что $\mu_{F}^{*}(O \backslash A) < \epsilon$ .

(g)

Покажите, что для всех $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ с $\mu_{F}^{*}(A) < \infty$ и для всех $\epsilon > 0$ существует непрерывная функция $g_{\epsilon }$ с компактным носителем (т.е. $g_{\epsilon }(x)$ равна нулю при больших $\left|x\right|$ ), такая что

\mu _{F}^{*}\left(A \triangle g_{\epsilon }^{-1}\left\{ 1\right\} \right) < \epsilon .

(h)

Покажите, что для всех $A \in \mathcal{M}_{\mu_{F}^{*}}$ и для всех $\epsilon > 0$ существует непрерывная функция $g_{\epsilon }$ (не обязательно с компактным носителем), такая что $\mu_{F}^{*}\left(A \triangle g_{\epsilon }^{-1}\left\{ 1\right\} \right) < \epsilon$ (т.е. снимите условие $\mu_{F}^{*}(A) < \infty )$ .

Задача 1.33

(a)(b)

Пусть $C$ — канторово множество на $[0,1]$ , как определено в Разделе 1.3.2.

?

(a)

Покажите, что

C = \left\{ x: x = \sum _{i = 1}^{\infty } \frac{a_{i}}{3^{i}}, a_{i} \in \left\{ 0,2\right\} \right\} .

и, следовательно, что $C$ несчётно.

(b)

Покажите, что

C+C \equiv \left\{ x+y: x, y \in C\right\} = [0,2].

Меры