Мартингалы с дискретным временем

Пусть $\Omega$ — непустое множество, и пусть $\left\{ A_{j}\right\}_{j \geq 1}$ — счётное разбиение $\Omega$. Для $n \geq 1$ пусть $\mathcal{F}_{n} = \sigma$-алгебра, порождённая $\left\{ A_{j}\right\}_{j = 1}^{n}$.

Пусть $\Omega$ — непустое множество. Для каждого $n \geq 1$ пусть $\pi_{n} \equiv \left\{ A_{n j}: j = 1,2, \ldots , k_{n}\right\}$ — разбиение $\Omega$. Предположим, что для каждого $n$ и $j, A_{n j}$ является объединением множеств $\pi_{n+1}$. Пусть $\mathcal{F}_{n} \equiv \sigma \left\langle \pi_{n}\right\rangle$ для $n \geq 1$.

Пусть $\left\{ \left(Y_{n}, \mathcal{F}_{n}\right): n \geq 1\right\}$ и $\left\{ \left(\tilde{Y}_{n}, \mathcal{F}_{n}\right): n \geq 1\right\}$ такие же, как в примере 13.1.2. Проверьте, что $\left\{ \left(Y_{n}, \mathcal{F}_{n}\right): n \geq 1\right\}$ является субмартингалом, а $\left\{ \left(\tilde{Y}_{n}, \tilde{\mathcal{F}}_{n}\right): n \geq 1\right\}$ — мартингалом.

Приведите пример случайной величины $T$ и двух фильтраций $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ \mathcal{G}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ таких, что $T$ является моментом остановки относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$, но не относительно $\left\{ \mathcal{G}_{n}\right\}_{n \geq 1}$.

Пусть $T_{1}$ и $T_{2}$ — моменты остановки относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$. Проверьте, что $\min \left(T_{1}, T_{2}\right), \max \left(T_{1}, T_{2}\right), T_{1}+T_{2}$ и $T_{1}^{2}$ являются моментами остановки относительно $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$. Приведите пример, показывающий, что $\sqrt{T_{1}}$ и $T_{1}-1$ не обязательно являются моментами остановки относительно $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$.

Пусть $T$ — случайная величина, принимающая значения в $\left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$. Покажите, что существует фильтрация $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$, относительно которой $T$ является моментом остановки.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — фильтрация.

Покажите, что $\mathcal{F}_{T}$, определённая в (2.6), является $\sigma$-алгеброй.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность случайных величин. Пусть $\mathcal{G}_{n} = \sigma \langle \left\{ X_{j} : 1 \leq j \leq n\right\} \rangle$. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — фильтрация такая, что $\mathcal{G}_{n} \subset \mathcal{F}_{n}$ для каждого $n \geq 1$.

Ветвящееся случайное блуждание — это ветвящийся процесс вместе со связанным с ним случайным блужданием. Индивиды размножаются согласно ветвящемуся процессу, а потомки удаляются от родителя на случайное расстояние. Если $X_{n} \equiv \left\{ x_{n 1}, x_{n 2}, \ldots x_{n Z_{n}}\right\}$ обозначает вектор позиций $Z_{n}$ индивидов в $n$-м поколении, и индивид в позиции $x_{n i}$ производит $\rho_{n i}$ потомков, то каждый из них выбирает новую позицию, смещаясь на случайное расстояние от $x_{n i}$, причём эти смещения предполагаются н.о.р. Пусть $\eta_{n i j}$ — случайное расстояние, на которое смещается $j$-й потомок индивида в $x_{n i}$. Тогда вектор позиций $(n+1)$-го поколения задаётся как

где

Пусть распределение числа потомков — $\left\{ p_{k}\right\}_{k \geq 0}$, а распределение размера скачка обозначается $F(\cdot )$. Предположим, что $\eta$ принимают действительные значения, а также что семейства $\left\{ \rho_{n i}\right\}_{i \geq 1, n \geq 0},\left\{ \eta_{n i j}\right\}_{i \geq 1, j \geq 1, n \geq 0}$ все независимы, причём $\rho$ н.о.р. с распределением $\left\{ p_{k}\right\}_{k \geq 0}$, а $\eta$ н.о.р. с распределением $F$. Зафиксируем $\theta \in \mathbb {R}$. Для $n \geq 0$ пусть

где $\rho = \sum_{k = 0}^{\infty } k p_{k}, \phi (\theta ) = E\left(e^{\theta \eta_{111}}\right) = \int e^{\theta x} d F(x)$. Предположим $0 < \phi (\theta ) < \infty , 0 < \rho < \infty$.

Пусть $\left\{ \eta_{j}\right\}_{j \geq 1}$ согласован с фильтрацией $\left\{ \mathcal{F}_{j}\right\}_{j \geq 1}$. Пусть $\mathbb {E}\left[\eta_{j} \mid \mathcal{F}_{j-1}\right] = 0$ и $V_{j} = \mathbb {E}\left[\eta_{j}^{2} \mid \mathcal{F}_{j-1}\right]$ для $j \geq 2$. Пусть $s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} V_{j}, n \geq 2$.

Пусть $\left\{ \xi_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайная величина с распределением $P\left(\xi_{1} = 1\right) = \frac{1}{2} = P\left(\xi_{1} = -1\right)$. Пусть $S_{0} = 0, S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i}, n \geq 1$. Пусть $-a < 0 < b$ — целые числа, и $T = T_{-a, b} = \inf \left\{ n: n \geq 1, S_{n} = -a \text{ или } b\right\}$. Покажите, используя леммы Вальда (теорема 13.2.14), что

Используйте задачу 13.12, чтобы заключить, что для любого целого положительного $b$

где для любого целого $i$,

Пусть $\left\{ \xi_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — н.о.р. случайные величины с распределением

Пусть $S_{0} = 0, S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i}, n \geq 1$. Пусть $\psi (x) = \left(\frac{q}{p}\right)^{x}, x \in \mathbb {R}$, где $q = 1-p$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — цепь Маркова с пространством состояний $\mathbb {S} = \left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$, и матрицей переходных вероятностей $P = \left(\left(p_{i j}\right)\right)$. То есть для каждого $n \geq 1$,

для всех $i_{0}, i_{1}, i_{2}, \ldots , i_{n} \in \mathbb {S}$. Пусть $h: \mathbb {S} \rightarrow \mathbb {R}$ и $\rho \in \mathbb {R}$ таковы, что

и

Пусть $\left\{ Y_{j}\right\}_{j \geq 1}$ — последовательность случайных величин такая, что $P\left(\left|Y_{j}\right| \leq 1\right) = 1$ для всех $j \geq 1$ и $\mathbb {E}\left[Y_{j} \mid \mathcal{F}_{j-1}\right] = 0$ для $j \geq 2$, где $\mathcal{F}_{j} = \sigma \left\langle Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{j}\right\rangle$. Пусть $X_{n} = \sum_{j = 1}^{n} Y_{j}, n \geq 1$, и пусть $\tau$ — момент остановки относительно $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $E \tau < \infty$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X_{\tau }\right|\right]< \infty$ и $\mathbb {E}\left[X_{\tau }\right] = E X_{1}$.

Пусть $\theta ,\left\{ \xi_{j}\right\}_{j \geq 1}$ — последовательность случайных величин такая, что $E\left|\theta \right| < \infty$ и $\left\{ \xi_{j}\right\}_{j \geq 1}$ н.о.р. с нулевым средним. Для $j \geq 1$ пусть $X_{j} = \theta +\xi_{j}$ и $\mathcal{F}_{j} = \sigma \left\langle X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{j}\right\rangle$. Покажите, что $Y_{j} \equiv E\left(\theta \mid \mathcal{F}_{j}\right) \rightarrow \theta$ п.н.

Пусть $\left\{ X_{n}, \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — мартингал такой, что $\mathbb {E}\left[X_{n}^{2} \right] < \infty$ для всех $n \geq 1$. Пусть $\bar{Y}_{1} = X_{1}, Y_{j} = X_{j}-X_{j-1}, j \geq 2$. Пусть $V_{j} = \mathbb {E}\left[Y_{j}^{2} \mid \mathcal{F}_{j-1}\right]$ для $j \geq 2$ и $A_{n} = \sum_{j = 2}^{n} V_{j}, n \geq 2$. Проверьте, что

Покажите, что случайная величина $X_{\infty }$, определённая в примере 13.3.2, равна нулю п.н.

Покажите, что мартингал Дуба в определении 13.3.1 равномерно интегрируем.

Рассмотрим следующую урновую схему, принадлежащую Пойа. Пусть урна содержит $w_{0}$ белых и $b_{0}$ чёрных шаров в момент времени $n = 0$. Шар вынимается из урны наугад. Он возвращается в урну вместе с ещё одним шаром того же цвета, что и вынутый. Повторим эту процедуру для всех $n \geq 1$. Пусть $W_{n}$ и $B_{n}$ обозначают число белых и чёрных шаров в урне после $n$ извлечений. Пусть $Z_{n} = \frac{W_{n}}{W_{n}+B_{n}}, n \geq 0$. Пусть $\mathcal{F}_{n} = \sigma \left\langle Z_{0}, Z_{1}, \ldots , Z_{n}\right\rangle$.

Докажите следствие 13.4.6.

Докажите последнее уравнение (4.6) раздела 13.4.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — фильтрация $\subset \mathcal{F}$, где $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ — вероятностное пространство. Пусть $\left\{ Y_{n}\right\}_{n \geq 0} \subset L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Предположим

Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{n} \mid \mathcal{F}_{n}\right] \rightarrow E\left(Y \mid \mathcal{F}_{\infty }\right)$ п.н.

Пусть $\left\{ X_{t}, \mathcal{F}_{t}: t \in I \equiv \mathcal{Q} \cap (0,1)\right\}$ — мартингал, т.е. для всех $t_{1} < t_{2}$ в $I$,

Покажите, что для каждого $t$ в $I$

оба существуют п.н. и в $L^{1}$, и равны $X_{t}$ п.н.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — случайные величины на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Предположим, что для некоторой $\sigma$-алгебры $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ выполняется (4.7). Покажите, что $\left\{ X_{i}\right\}_{i \geq 1}$ обмениваемы.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 0},\left\{ Y_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — мартингалы в $L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$ относительно одной и той же фильтрации $\left\{ \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$. Пусть $X_{0} = Y_{0} = 0$. Покажите, что

и, в частности,

Пусть $\left\{ X_{n}, \mathcal{F}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — мартингал в $L^{2}(\Omega , \mathcal{F}, P)$. Предположим, что $0 \leq b_{n} \uparrow \infty$ такие, что $\sum_{j = 2}^{n} \frac{\mathbb {E}\left[X_{j}-X_{j-1}\right]^{2}}{b_{j}^{2}} < \infty$. Покажите, что $\frac{X_{n}}{b_{n}} \rightarrow 0$ п.н.

Пусть $f \in L^{1}([0,1], \mathcal{B}([0,1]), m)$, где $m(\cdot )$ — мера Лебега на $[0,1]$. Пусть $\left\{ H_{k}(\cdot )\right\}_{k \geq 1}$ — функции Хаара, определённые как

Пусть $a_{k} \equiv \int_{0}^{1} f(t) H_{k}(t) d t, k = 1,2, \ldots$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность неотрицательных случайных величин на некотором вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, P)$ такая, что $\mathbb {E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right] \leq X_{n}+Y_{n}$, где $\mathcal{F}_{n} \equiv \sigma \left\langle X_{1}, \ldots , X_{n}\right\rangle$, где $\left\{ Y_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность неотрицательных констант такая, что $\sum_{n = 1}^{\infty } Y_{n} < \infty$. Покажите, что $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geq 1}$ сходится п.н.

Пусть $\left\{ \tau_{j}\right\}_{j \geq 1}$ — независимые показательные случайные величины с $\lambda_{j} = E \tau_{j}, j \geq 1$ такие, что $\sum_{j = 1}^{\infty } \frac{1}{\lambda_{j}^{2}} < \infty$. Пусть $T_{0} = 0, T_{n} = \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j}$, $n \geq 1, s_{n} = \sum_{j = 1}^{n} \lambda_{j}$. Покажите, что $\left\{ X_{n} \equiv T_{n}-s_{n}\right\}_{n \geq 1}$ сходится п.н. и в среднеквадратичном.