Ветвящиеся процессы

Пусть $v_{n} = V\left(Z_{n} \mid Z_{0} = 1\right)$. Покажите, что $v_{n+1} = V\left(Z_{n} m \mid Z_{0} = 1\right)+ \mathbb {E}\left[Z_{n} \sigma^{2} \mid Z_{0} = 1\right]$, где $m = \mathbb {E}\left[Z_{1} \mid Z_{0} = 1\right]$ и $\sigma^{2} = V\left(Z_{1} \mid Z_{0} = 1\right)$, и, следовательно, $v_{n+1} = m^{2} v_{n}+\sigma^{2} m^{n}$.

Заключите из (a), что $\sup_{n} E W_{n}^{2} < \infty$, где $W_{n} = Z_{n} / m^{n}$.

Используя тот факт, что $\left\{ W_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — мартингал, покажите, что если $\sum j^{2} p_{j} < \infty$, то $\left\{ W_{n}\right\}$ сходится п.н. и в $L^{2}$ к случайной величине $W$ такой, что $E\left(W \mid Z_{0} = 1\right) = 1$.

(Независимость линий происхождения). Установите свойство, что для любого $k \geq 0$, если $Z_{0} = k$, то $\left\{ Z_{n}\right\}_{n \geq 0}$ имеет то же распределение, что и $\left\{ \sum_{j = 1}^{k} Z_{n}^{(j)}\right\}_{n \geq 0}$, где $\left\{ \left\{ Z_{n}^{(j)}\right\}_{n \geq 0}\right\} , j \geq 1$ — н.о.р. копии $\left\{ Z_{n}\right\}_{n \geq 0}$ с $Z_{0} = 1$.

В контексте теоремы 18.1.2 покажите, что если $Z_{0} = 1$, то $W \equiv \lim W_{n}$ можно представить как

где $Z_{1}, W^{(j)}, j = 1,2, \ldots$ все независимы, причём $Z_{1}$ имеет распределение $\left\{ p_{j}\right\}_{j \geq 0}$, а $\left\{ W^{(j)}\right\}_{j \geq 1}$ н.о.р. с тем же распределением, что и $W$.

Пусть $\alpha \equiv \sum_{a_{j} \in D} P\left(W = a_{j}\right)$, где $D \equiv \left\{ a_{j}\right\}$ — множество значений таких, что $P\left(W = a_{j}\right) > 0$. Покажите, используя (b), что $\alpha = f(\alpha )$, и заключите, что если $\alpha < 1$, то $\alpha = q$, и, следовательно, что если $\alpha < 1$, то распределение $W$ при условии $W > 0$ должно быть непрерывным.

Пусть $\beta$ — сингулярная компонента распределения $W$ в его разложении Лебега. Покажите, используя (b), что $\beta$ удовлетворяет $\beta \leq f(\beta )$, и, следовательно, что если $\beta < 1$, то $\beta = P(W = 0)$, и распределение $W$ при условии $W > 0$ должно быть абсолютно непрерывным.

Пусть $p_{0} = 0$. Покажите, что распределение $W$ является чистого типа, т.е. оно либо чисто дискретно, либо чисто сингулярно непрерывно, либо чисто абсолютно непрерывно.

Покажите, используя задачу 18.3 (b), что если $W$ имеет решётчатое распределение с шагом $d$, то $d$ должно удовлетворять $d = m d$, и, следовательно, $d = \infty$. Заключите, что если $P(W = 0) < 1$, то распределение $W$ на $\left\{ W > 0\right\}$ должно быть нерешёточным.

Пусть $p_{0} = 0$ и $P(W = 0) = 0$. Используйте (a), чтобы заключить, что характеристическая функция $\phi (t) \equiv E\left(e^{\iota t W}\right)$ величины $W$ удовлетворяет $\sup_{1 \leq \left|t\right| \leq m}\left|\phi (t)\right| < 1$.

Пусть $p_{0} = 0$. Покажите, что для любых $0 \leq s_{0} < 1, \epsilon > 0, f^{(n)}\left(s_{0}\right) = 0\left(\epsilon^{n}\right)$. (Указание: по теореме о среднем значении, $f^{(n)}(s) = \prod_{j = 0}^{n-1} f^{\prime }\left(f_{j}(s)\right)$. Теперь используйте $f^{\prime }(0) = p_{0}, f_{j}(s) \rightarrow 0$ при $j \rightarrow \infty$.)

Пусть $p_{0} = 0, P(W = 0) = 0$. Покажите, что для любого $n \geq 1$, $\phi \left(m^{n} t\right) = f^{(n)}(\phi (t))$, и, следовательно, $\int_{-\infty }^{\infty }\left|\phi (u)\right| d u < \infty$. Заключите, что распределение $W$ абсолютно непрерывно.

Покажите, что $m_{\alpha }(t) \equiv m(t) e^{-\alpha t}$ удовлетворяет уравнению восстановления

где $G_{\alpha }(t) \equiv m \int_{0}^{t} e^{-\alpha u} d G(u), t \geq 0$.

Используйте ключевую теорему восстановления раздела 8.5, чтобы заключить, что $\lim_{t \rightarrow \infty } m_{\alpha }(t)$ существует, и определите предел.

Предполагая $\sum_{j = 1}^{\infty } j^{2} p_{j} < \infty$, покажите, используя ключевую теорему восстановления раздела 8.5, что $\left\{ W(t): t \geq 0\right\}$ из теоремы 18.3.2 $L^{2}$-ограничен.

Покажите, что $\left\{ Z_{n}\right\}_{n \geq 0}$ является ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона, как в разделе 18.1.

Найдите распределение числа потомков $\left\{ p_{j}\right\}_{0}^{\infty }$ и его среднее $m$ в терминах параметра интенсивности $\lambda$ пуассоновского процесса поступлений и распределения времени обслуживания $G(\cdot )$.

Покажите, что размер очереди стремится к $\infty$ с положительной вероятностью тогда и только тогда, когда $m > 1$.

Составьте функциональное уравнение для производящей функции моментов периода занятости $U$, т.е. интервала времени между началом первого обслуживания и первым моментом, когда сервер простаивает.