Интегрирование

Пусть $\left\{ g_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — совокупность $\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримых функций из $\Omega$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\sum_{i = 1}^{\infty } I_{A_{i}} g_{i}$ сходится на $\mathbb {R}$ и является $\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримой.

Пусть $\mathcal{G} \equiv \sigma \left\langle \left\{ A_{i}: i \geq 1\right\} \right\rangle$. Покажите, что $h: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ является $\langle \mathcal{G}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримой тогда и только тогда, когда $g(\cdot )$ постоянна на каждом $A_{i}$.

Покажите, что $A \equiv \left\{ \omega \in \Omega : \text{уравнение (6.1) имеет два различных вещественных корня}\right\} \in \mathcal{F}$.

Пусть $T_{1}(\omega )$ и $T_{2}(\omega )$ обозначают два корня (6.1) на $A$. Пусть

$i = 1,2$. Покажите, что $\left(f_{1}, f_{2}\right)$ является $\left\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)\right\rangle$-измеримой.

Покажите, что $Y_{1} \equiv \operatorname {det}(M)$ (определитель $M$) и $Y_{2} \equiv \operatorname {tr}(M)$ (след $M$) являются $\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримыми.

Покажите также, что $Y_{3} \equiv$ наибольшее собственное значение $M^{\prime } M$ является $\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримой, где $M^{\prime }$ — транспонированная к $M$. (Указание: используйте результат, что $Y_{3} = \sup_{x \neq 0} \frac{\left(x^{\prime } M^{\prime } M x\right)}{\left(x^{\prime } x\right)}$.)

Покажите, что для любого $t \in \mathbb {R}$,

открыто, и, следовательно, $\bar{f}$ является $\langle \mathcal{B}(\mathbb {R}), \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримой.

Покажите, что для любого $t > 0$,

и, следовательно, открыто.

Покажите, что $f$ непрерывна в некоторой точке $x_{0}$ из $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\bar{f}\left(x_{0}\right) = \underline{f}\left(x_{0}\right)$.

Покажите, что множество $C_{f} \equiv \left\{ x: f(\cdot ) \text{ непрерывна в } x\right\}$ является $G_{\delta }$-множеством, т.е. пересечением счётного числа открытых множеств, и, следовательно, $C_{f}$ является борелевским множеством.

Пусть $D$ — замкнутое множество в $\mathbb {R}$. Пусть $f: D \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна на $D$. Покажите, что существует непрерывная функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, такая что $g = f$ на $D$. (Указание: заметьте, что $D^{c}$ открыто в $\mathbb {R}$ и, следовательно, может быть представлено как счётное объединение непересекающихся открытых интервалов $\left\{ I_{j} = \left(a_{j}, b_{j}\right) : 1 \leq j \leq k \leq \infty \right\}$. Заметьте, что $a_{j}, b_{j} \in D$ для всех $j$, за возможным исключением тех $j$, для которых $a_{j} = -\infty$ или $b_{j} = +\infty$. Пусть

Теперь проверьте, что $g$ обладает требуемыми свойствами.)

Покажите, что для любого $x \in \mathbb {R}$ и любой случайной величины $X$ с функцией распределения $F_{X}(\cdot ), P(X < x) = F_{X}(x-) \equiv \lim_{y \uparrow x} F_{X}(y)$.

Покажите, что $F_{c}(\cdot )$ в (2.5) непрерывна.

Покажите, что для $x \in \mathbb {R}, F(x-) \equiv \lim_{y \uparrow x} F(y)$ и $F(x+) = \lim_{y \downarrow x} F(y)$ существуют и удовлетворяют $F(x-) \leq F(x) \leq F(x+)$.

Пусть $D \equiv \left\{ x: F(x+)-F(x-) > 0\right\}$. Покажите, что $D$ не более чем счётно. (Указание: покажите, что

где $D_{n, r} = \left\{ x:\left|x\right| \leq n, F(x+)-F(x-) > \frac{1}{r}\right\}$ и что каждое $D_{n, r}$ конечно.)

Покажите, что $F$ монотонна по каждой координате, т.е. если $x = \left(x_{1}, \ldots , x_{k}\right), y = \left(y_{1}, \ldots , y_{k}\right)$ и $x_{i} \leq y_{i}$ для каждого $i = 1, \ldots , k$, то

Покажите, что $\mathcal{C}$ является полуалгеброй и $\mu_{F}$ является мерой на $\mathcal{C}$, используя теорему Гейне-Бореля, как в Задачах 1.22 и 1.23.

$A = [0, t], t > 0$.

$A = (-\infty , 0)$.

$A = \left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$.

$A = \bigcup_{i = 1}^{\infty }\left(i^{2},\left(i+\frac{1}{i^{2}}\right)^{2}\right)$.

$A = \bigcup_{i = 1}^{\infty }\left(i^{2},\left(i+\frac{1}{i}\right)^{2}\right)$.

Пусть $Y_{1}$ — случайная величина $Y_{1}(x) \equiv \sin 2 \pi x$ для $x \in (0,1)$. Найдите функцию распределения $Y_{1}$.

Пусть $Y_{2}$ — случайная величина $Y_{2}(x) \equiv \log x$ для $x \in (0,1)$. Найдите функцию распределения $Y_{2}$.

Пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция распределения. Для $0 < x < 1$ положим

Пусть $Z_{i}$ — случайная величина, определённая как

(i) Найдите функцию распределения $Z_{i}, i = 1,2$. (Указание: проверьте, используя непрерывность справа $F$, что для любого $0 < x < 1, t \in \mathbb {R}, F(t) \geq x \Leftrightarrow F_{1}^{-1}(x) \leq t.$)

(ii) Покажите также, что $F_{1}^{-1}(\cdot )$ непрерывна слева, а $F_{2}^{-1}(\cdot )$ непрерывна справа.

Пусть $\left(\Omega , \mathcal{F}_{1}, \mu \right)$ — сигма-конечное пространство с мерой. Пусть $T: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ является $\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримой. Покажите на примере, что порождённая мера $\mu T^{-1}$ не обязательно сигма-конечна.

Пусть $\left(\Omega_{i}, \mathcal{F}_{i}\right)$ — измеримые пространства для $i = 1,2$ и пусть $T$ : $\Omega_{1} \rightarrow \Omega_{2}$ является $\left\langle \mathcal{F}_{1}, \mathcal{F}_{2}\right\rangle$-измеримой. Покажите, что любая мера $\mu$ на $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}\right)$ сигма-конечна, если $\mu T^{-1}$ сигма-конечна на $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}\right)$.

Докажите Предложение 2.3.1.

В доказательстве Предложения 2.3.2 проверьте, что $D_{n} \uparrow D$.

Проверьте Замечание 2.3.1. (Указание: пусть

и $\tilde{f}_{n} = f_{n} I_{A}, \tilde{g}_{n} = g_{n} I_{A}$. Проверьте, что $\mu \left(A^{c}\right) = 0$, и примените Предложение 2.3.2 к $\left\{ \tilde{f}_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ \tilde{g}_{n}\right\}_{n \geq 1}$.)

Проверьте, что $f_{n}(\cdot )$, определённая в (3.7), удовлетворяет $f_{n}(\omega ) \uparrow f(\omega )$ для всех $\omega$ из $\Omega$.

Проверьте, что последовательность $\left\{ h_{n}\right\}_{n \geq 1}$ из Замечания 2.3.3 удовлетворяет $\lim_{n \rightarrow \infty } h_{n} = f$ п.в. $(\mu )$, и $\lim_{n \rightarrow \infty } \int h_{n} d \mu = M$.

Напомним, что $\lim_{t \rightarrow \infty } g(t) = L$ для некоторого $L$ из $\mathbb {R}$, если для каждого $\epsilon > 0$ существует $T_{\epsilon } < \infty$, такое что $t \geq T_{\epsilon } \Rightarrow \left|g(t)-L\right| < \epsilon$. Покажите, что $\lim_{t \rightarrow \infty } g(t) = L$ для некоторого $L$ из $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } g\left(t_{n}\right) = L$ для любой последовательности $\left\{ t_{n}\right\}_{n \geq 1}$ с $\lim_{n \rightarrow \infty } t_{n} = \infty$.

Сформулируйте и докажите аналогичный результат, когда $\lim_{t \rightarrow a} g(t) = L$ для некоторых $a, L \in \mathbb {R}$.

(Непрерывная версия $MCT$). Предположим, что $f_{t} \uparrow f$ при $t \uparrow \infty$ п.в. $(\mu )$ и для каждого $t, f_{t} \geq 0$ п.в. $(\mu )$. Покажите, что

(Непрерывная версия $DCT$). Предположим, что существует неотрицательная $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, такая что для каждого $t,\left|f_{t}\right| \leq g$ п.в. $(\mu )$ и при $t \rightarrow \infty , f_{t} \rightarrow f$ п.в. $(\mu )$. Тогда $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\int \left|f_{t}-f\right| d \mu \rightarrow 0$, а значит $\int f_{t} d \mu \rightarrow \int f d \mu$, при $t \rightarrow \infty$.

Покажите, что $\int \left|f_{n}-f\right|(d \mu ) \rightarrow 0$ тогда и только тогда, когда $f_{n} \longrightarrow^{m} f$ и $\int \left|f_{n}\right| d \mu \rightarrow \int \left|f\right| d \mu$.

Покажите далее, что если $\mu (\Omega ) < \infty$, то указанные два условия эквивалентны $f_{n} \longrightarrow^{m} f$ и равномерной интегрируемости $\left\{ f_{n}\right\}$.

Пусть $f$ непрерывна почти всюду и ограничена на конечных интервалах и $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}_{m}, m\right)$. Покажите, что для $-\infty < a < b < \infty , f \in L^{1}\left([a, b], \mathcal{M}_{m}, m\right)$ и

где правая часть обозначает риманов интеграл от $f$ на $[a, b]$.

Если, кроме того, $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}_{m}, m\right)$, то

Если $f$ непрерывна почти всюду и $\in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}_{m}, m\right)$, то

где $\phi_{c}(f) = f(x) I(\left|f(x)\right| \leq c)+c I(f(x) > c)-c I(f(x) < -c)$.

Примените указанную процедуру для вычисления $\int_{\mathbb {R}} f d m$ для

(i) $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$,

(ii) $f(x) = e^{-x^{2} / 2}$,

(iii) $f(x) = e^{+x} e^{-x^{2} / 2}$.

Пусть $a \in \mathbb {R}$. Покажите, что если $a_{1}, a_{2}$ неотрицательны и таковы, что $a = a_{1}-a_{2}$, то $a_{1} \geq a^{+}, a_{2} \geq a^{-}$и $a_{1}-a^{+} = a_{2}-a^{-}$.

Пусть $f = f_{1}-f_{2}$, где $f_{1}, f_{2}$ неотрицательны и принадлежат $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$. Покажите, что $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ и $\int f d \mu = \int f_{1} d \mu - \int f_{2} d \mu$.

Предположим, что для каждого $a < t < b$,

(i) $\lim_{h \rightarrow 0} f(\omega , t+h) = f(\omega , t)$ п.в. $(\mu )$.

(ii) $\sup_{\left|h\right| \leq 1}\left|f(\omega , t+h)\right| \leq g_{1}(\omega , t)$, где $g_{1}(\cdot , t) \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$.

Покажите, что $\phi (t) \equiv \int_{\Omega } f(\omega , t) d \mu$ непрерывна на $(a, b)$.

Предположим, что для каждого $a < t < b$.

(i) $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\omega , t+h)-f(\omega , t)}{h} = g_{2}(\omega , t)$ существует п.в. $(\mu )$,

(ii) $\sup_{0 \leq \left|h\right| \leq 1}\left|\frac{f(\omega , t+h)-f(\omega , t)}{h}\right| \leq G(\omega , t)$ п.в. $(\mu )$,

(iii) $G(\omega , t) \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$.

Покажите, что

дифференцируема на $(a, b)$. (Указание: используйте непрерывную версию DCT (см. Задачу 2.22).)

Покажите, применяя DCT, что

Покажите то же самое напрямую, т.е. не используя DCT.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, такова что $f_{n} \rightarrow 0$ в $L^{1}(\mu )$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1}$ равномерно интегрируема.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset L^{p}(\Omega , \mathcal{F}, \mu ), 0 < p < \infty$, такова что $\mu (\Omega ) < \infty$, $\left\{ \left|f_{n}\right|^{p}\right\}_{n \geq 1}$ равномерно интегрируема и $f_{n} \longrightarrow^{m} f$. Покажите, что $f \in L^{p}(\mu )$ и $f_{n} \rightarrow f$ в $L^{p}(\mu )$.

Покажите, что для последовательности вещественных чисел $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x \in \overline{\mathbb {R}}$ выполняется тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность $\left\{ x_{n_{j}}\right\}_{j \geq 1}$ последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}$ имеет дальнейшую подпоследовательность $\left\{ x_{n_{j k}}\right\}_{k \geq 1}$, такую что $\lim_{k \rightarrow \infty } x_{n_{j k}} = x$.

Используя (a) и Теорему 2.5.2, покажите, что расширенная теорема DCT (Теорема 2.3.11) верна, если п.в. сходимость $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ g_{n}\right\}_{n \geq 1}$ заменить сходимостью по мере.