Банк задач по математике

Задача 4.1

Покажите, что в доказательстве теоремы 4.1.1, $\mu \left(A_{3}\right) = 0$ , где $A_{3} = \left\{ g \notin [0,1]\right\}$ и $g$ удовлетворяет (1.9).

?

Задача 4.2

Убедитесь, что $\mu_{1 s}$ , определённая в (1.14), и $\mu_{2}$ сингулярны.

?

Задача 4.3

Пусть $\nu$ — считающая мера на $[0,1]$ , и $\int_{[0,1]} h d \nu < \infty$ для некоторой неотрицательной функции $h$ . Покажите, что $B = \left\{ x: h(x) > 0\right\}$ счётно.

?

Задача 4.4

Докажите предложение 4.1.2.

?

Задача 4.5

Найдите разложение Лебега меры $\mu$ относительно $\nu$ и производную Радона-Никодима $\frac{d \mu_{a}}{d \nu }$ в следующих случаях, где $\mu_{a}$ — абсолютно непрерывная компонента $\mu$ относительно $\nu$ .

?

(a)

$\mu = N(0,1), \nu = \operatorname {Exponential}(1)$

(b)

$\mu = \operatorname {Exponential}(1), \nu = N(0,1)$

(c)

$\mu = \mu_{1}+\mu_{2}$ , где $\mu_{1} = N(0,1), \mu_{2} = \operatorname {Poisson}(1)$ и $\nu =$ Cauchy $(0,1)$ .

(d)

$\mu = \mu_{1}+\mu_{2}, \nu = \operatorname {Geometric}(p), 0 < p < 1$ , где $\mu_{1} = N(0,1)$ и $\mu_{2} =$ Poisson(1).

(e)

$\mu = \mu_{1}+\mu_{2}, \nu = \nu_{1}+\nu_{2}$ , где $\mu_{1} = N(0,1), \mu_{2} = \operatorname {Poisson}(1)$ , $\nu_{1} = \operatorname {Cauchy}(0,1)$ и $\nu_{2} = \operatorname {Geometric}(p), 0 < p < 1$ .

(f)

$\mu = \operatorname {Binomial}(10,1 / 2), \nu =$ Poisson (1).

Меры, упомянутые выше, определены в таблицах 4.6.1 и 4.6.2, приведённых в конце этого раздела.

Задача 4.6

(a)(b)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ — пространство с мерой и $f \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ . Пусть

\nu _{f}(A) \equiv \int _{A} f d \mu \quad \text{ для всех } \quad A \in \mathcal{F}

?

(a)

Покажите, что $\nu_{f}$ — конечная знакопеременная мера.

(b)

Покажите, что $\left\| \nu \right\| = \int_{\Omega }\left|f\right| d \mu$ и для $A \in \mathcal{F}, \nu_{f}^{+}(A) = \int_{A} f^{+} d \mu$ , $\nu_{f}^{-}(A) = \int_{A} f d \mu$ , и $\left|\nu_{f}\right|(A) = \int_{A}\left|f\right|(d \mu )$ .

Задача 4.7

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — две конечные меры, такие что обе подчинены $\sigma$ -конечной мере $\nu$ . Покажите, что мера полной вариации знакопеременной меры $\mu \equiv \mu_{1}-\mu_{2}$ задаётся как $\left|\mu \right|(A) = \int_{A}\left|h_{1}-h_{2}\right| d \nu$ , где для $i = 1,2, h_{i} = \frac{d \mu_{i}}{d \nu }$ .

(b)

Заключите, что если $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — две меры на счётном множестве $\Omega \equiv \left\{ \omega_{i}\right\}_{i \geq 1}$ с $\mathcal{F} \equiv \mathcal{P}(\Omega )$ , то $\left|\mu \right|(A) = \sum_{i \in A} \mid \mu_{1}\left(\omega_{i}\right)- \mu_{2}\left(\omega_{i}\right) \mid$ .

(c)

Покажите, что если $\mu_{n}$ — мера Биномиальная $\left(n, p_{n}\right)$ , а $\mu$ — мера Пуассона $(\lambda )$ , $0 < \lambda < \infty$ , то при $n \rightarrow \infty ,\left|\mu_{n}-\mu \right|(\cdot ) \rightarrow 0$ равномерно на $\mathcal{P}\left(\mathbb {Z}_{+}\right)$ тогда и только тогда, когда $n p_{n} \rightarrow \lambda$ . (Указание: покажите, что для каждого $i \in \mathbb {Z}_{+} \equiv \left\{ 0,1,2, \ldots \right\} , \mu_{n}(\left\{ i\right\} ) \rightarrow \mu (\left\{ i\right\} )$ , и используйте теорему Шеффе.)

Задача 4.8

Пусть $\nu$ — конечная знакопеременная мера на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{F})$ , и пусть $\left|\nu \right|$ — мера полной вариации, соответствующая $\nu$ . Покажите, что для любого $B \in \Omega^{+}, B \subset \mathcal{F}$ ,

|\nu |(B) = \nu (B)

где $\Omega^{+}$ определено в (2.13).

?

Задача 4.9

Покажите, что банахово пространство $\mathbb {S}$ конечных знакопеременных мер на $(\mathbb {N}, \mathcal{P}(\mathbb {N}))$ изоморфно $\ell_{1}$ , банахову пространству абсолютно сходящихся последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}$ в $\mathbb {R}$ .

?

Задача 4.10

(a)(b)

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — две вероятностные меры на $(\Omega , \mathcal{F})$ .

?

(a)

Покажите, что

\left\| \mu _{1}-\mu _{2}\right\| = 2 \sup \left\{ \left|\mu _{1}(A)-\mu _{2}(A)\right|: A \in \mathcal{F}\right\}

(Указание: для любого $A \in \mathcal{F},\left\{ A, A^{c}\right\}$ — разбиение $\Omega$ , и поэтому $\left\| \mu_{1}- \mu_{2} \right\| \geq \left|\mu_{1}(A)-\mu_{2}(A)\right|+\left|\mu_{1}\left(A^{c}\right)-\mu_{2}\left(A^{c}\right)\right| = 2\left|\mu_{1}(A)-\mu_{2}(A)\right|$ , поскольку $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — вероятностные меры. Для обратного неравенства используйте разложение Хана пространства $\Omega$ относительно $\mu_{1}-\mu_{2}$ и тот факт, что $\left\| \mu_{1}-\mu_{2}\right\| = \left|\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)\left(\Omega^{+}\right)\right|+\left|\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)\left(\Omega^{-}\right)\right|$ . $)$

(b)

Покажите, что $\left\| \mu_{1}-\mu_{2}\right\|$ также равно

\sup \left\{ \left|\int f d \mu _{1}-\int f d \mu _{2}\right|: f \in B(\Omega , \mathbb {R})\right\}

где $B(\Omega , \mathbb {R})$ — совокупность всех $\mathcal{F}$ -измеримых функций из $\Omega$ в $\mathbb {R}$ , таких что $\sup \left\{ \left|f(\omega )\right|: \omega \in \Omega \right\} \leq 1$ .

Задача 4.11

(a)(b)(c)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F})$ — измеримое пространство.

?

(a)

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность конечных мер на $(\Omega , \mathcal{F})$ . Покажите, что существует вероятностная мера $\lambda$ , такая что $\mu_{n} \ll \lambda$ . (Указание: рассмотрите $\lambda (\cdot ) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} \frac{\mu_{n}(\cdot )}{\mu_{n}(\Omega )}.$ )

(b)

Распространите (a) на случай, когда $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ $\sigma$ -конечны.

(c)

Заключите, что для любой последовательности $\left\{ \nu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ конечных знакопеременных мер на $(\Omega , \mathcal{F})$ , существует вероятностная мера $\lambda$ , такая что $\left|\nu_{n}\right| \ll \lambda$ для всех $n \geq 1$ .

Задача 4.12

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — последовательность конечных мер на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{F})$ . Покажите, что существует конечная мера $\mu$ на $(\Omega , \mathcal{F})$ , такая что $\left\| \mu_{n}-\mu \right\| \rightarrow 0$ , тогда и только тогда, когда существует конечная мера $\lambda$ , доминирующая $\mu$ и $\mu_{n}$ , $n \geq 1$ , такая что производные Радона-Никодима $f_{n} \equiv \frac{d \mu_{n}}{d \lambda } \rightarrow f \equiv \frac{d \mu }{d \lambda }$ по мере на $(\Omega , \mathcal{F}, \lambda )$ и $\mu_{n}(\Omega ) \rightarrow \mu (\Omega )$ .

?

Задача 4.13

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — две конечные меры на $(\Omega , \mathcal{F})$ . Пусть $\mu_{1} = \mu_{1 a}+ \mu_{1 s}$ — разложение Лебега-Радона-Никодима $\mu_{1}$ относительно $\mu_{2}$ , как в теореме 4.1.1. Покажите, что если $\mu = \mu_{1}-\mu_{2}$ , то для всех $A \in \mathcal{F}$ ,

|\mu |(A) = \int _{A}|h-1| d \mu _{2}+\mu _{1 s}(A) \quad \text{ где } \quad h = \frac{d \mu _{1 a}}{d \mu _{2}}

— производная Радона-Никодима $\mu_{1 a}$ относительно $\mu_{2}$ . Заключите, что если $\mu_{1} \perp \mu_{2}$ , то $\left|\mu \right|(\cdot ) = \mu_{1}(\cdot )+\mu_{2}(\cdot )$ , а если $\mu_{1} \ll \mu_{2}$ , то $\left|\mu \right|(A) = \int_{A}\left|\frac{d \mu_{1}}{d \mu_{2}}-1\right| d \mu_{2}$ .

(b)

Вычислите $\left|\mu \right|(\cdot ),\left\| \mu \right\|$ , если $\mu = \mu_{1}-\mu_{2}$ для следующих случаев

(i) $\mu_{1} = N(0,1), \mu_{2} = N(1,1)$

(ii) $\mu_{1} =$ Cauchy $(0,1), \mu_{2} = N(0,1)$

(iii) $\mu_{1} = N(0,1), \mu_{2} = \operatorname {Poisson}(\lambda )$ .

(c)

Установите предложение 4.2.7.

Задача 4.14

(a)(b)

Приведите другое доказательство полноты $(\mathbb {S},\left\| \cdot \right\| )$ , проверив следующие шаги.

?

(a)

Для любой последовательности $\left\{ \nu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ в $\mathbb {S}$ , существуют конечная мера $\lambda$ и $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \lambda )$ , такие что

\nu _{n}(A) = \int _{A} f_{n} d \lambda \quad \text{ для всех } \quad A \in \mathcal{F}, \quad \text{ для всех } \quad n \geq 1

(b)

$\left\{ \nu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ фундаментальна в $\mathbb {S}$ равносильно тому, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1}$ фундаментальна в $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \lambda )$ , и, следовательно, полнота $(\mathbb {S},\left\| \cdot \right\| )$ следует из полноты $L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \lambda )$ .

Задача 4.15

(a)(b)(c)

Пусть $f, g \in B V[a, b]$ .

?

(a)

Покажите, что $P(f+g ;[a, b]) \leq P(f ;[a, b])+P(g ;[a, b])$ , и что то же верно для $N(\cdot ; \cdot )$ и $T(\cdot ; \cdot )$ .

(b)

Покажите, что для любого $c \in \mathbb {R}$ ,

P(c f ;[a, b]) = \left|c\right| P(f ;[a, b])

и то же для $N(\cdot ; \cdot )$ и $T(\cdot ; \cdot )$ .

(c)

Для любого $a < c < b, P(f ;[a, b]) = P(f ;[a, c])+P(f ;[c, b])$ .

Задача 4.16

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset B V[a, b]$ и пусть $\lim_{n} f_{n}(x) = f(x)$ для всех $x$ в $[a, b]$ . Покажите, что $P(f ;[a, b]) \leq \lim_{n \rightarrow \infty } P\left(f_{n} ;[a, b]\right)$ , и то же для $N(\cdot ; \cdot )$ и $T(\cdot ; \cdot )$ .

?

Задача 4.17

Пусть $f \in B V[a, b]$ . Покажите, что $f$ непрерывна всюду, кроме не более чем счётного множества.

?

Задача 4.18

Пусть $F:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна. Покажите, что она имеет ограниченную вариацию.

?

Задача 4.19

Пусть $F$ — абсолютно непрерывная неубывающая функция на $\mathbb {R}$ . Пусть $\mu_{F}$ — мера Лебега-Стилтьеса, соответствующая $F$ . Покажите, что для любой $h \in L^{1}\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}_{\mu_{F}}, \mu_{F}\right)$ ,

\int _{\mathbb {R}} h d \mu _{F} = \int h f d m

где $f$ — неотрицательная измеримая функция, такая что $F(b)-F(a) = \int_{[a, b]} f d m$ для любых $a < b$ .

?

Задача 4.20

Пусть $F:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна с $F^{\prime }(\cdot ) > 0$ п.в. на $[a, b]$ , где $-\infty < a < b < \infty$ . Пусть $F(a) = c$ и $F(b) = d$ . Пусть $m(\cdot )$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$ . Покажите следующее:

?

(a)

(Формула замены переменных). Для любой $g:[c, d] \rightarrow \mathbb {R}$ , борелевски измеримой и интегрируемой относительно $m$

\int _{[c, d]} g d m = \int _{[a, b]} g(F) F^{\prime } d m

(b)

Для любого борелевского множества $E \subset [a, b], F(E)$ также является борелевским множеством.

(c)

$\nu (\cdot ) \equiv m(F(\cdot ))$ — мера на $\mathcal{B}([a, b])$ , и $\nu \ll m$ , причём

\frac{d \nu }{d m}(\cdot ) = F^{\prime }(\cdot )

(d)

$\lambda (\cdot ) \equiv m F^{-1}(\cdot )$ — мера на $\mathcal{B}([c, d])$ , и $\lambda \ll m$ , причём

\frac{d \lambda }{d m}(\cdot ) = \left(F^{\prime }\left(F^{-1}(\cdot )\right)\right)^{-1}

(e)

Для любой меры $\mu \ll m$ на $\mathcal{B}([a, b])$ мера $\psi (\cdot ) \equiv \mu F^{-1}(\cdot )$ подчинена $m$ , причём

\frac{d \psi }{d m} = \frac{d \mu }{d m}\left(F^{-1}(\cdot )\right)\left(F^{\prime }\left(F^{-1}(\cdot )\right)\right)^{-1}

(f)

Установите (a), предполагая, что $g$ и $F^{\prime }$ обе непрерывны, отметив, что оба интеграла сводятся к интегралам Римана.

Задача 4.21

(a)(b)(c)

Пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна на каждом конечном интервале.

?

(a)

Покажите, что $f$ в (4.1) можно выбрать независимо от интервала $[a, b]$ .

(b)

Более того, если $f$ интегрируема на $\mathbb {R}$ , то $\lim_{x \rightarrow -\infty } F(x) \equiv F(-\infty )$ и $\lim_{x \rightarrow \infty } F(x) \equiv F(\infty )$ существуют, и $F(x) = F(-\infty )+ \int_{(-\infty , x)} f d \mu_{L}$ для всех $x$ в $\mathbb {R}$ .

(c)

Приведите пример, когда $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, но $f$ не интегрируема на $\mathbb {R}$ .

Задача 4.22

(a)(b)(c)

Пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна на ограниченных интервалах. Пусть $\left\{ I_{j} = 1 \leq j \leq k \leq \infty \right\}$ — набор непересекающихся интервалов, таких что $\bigcup_{j = 1}^{k} I_{j} \equiv \mathbb {R}$ , и на каждом $I_{j}, F^{\prime }(\cdot ) > 0$ п.в. или $F^{\prime }(\cdot ) < 0$ п.в. относительно $m$ .

?

(a)

Покажите, что для любой $h \in L^{1}(\mathbb {R}, m)$ ,

\int _{\mathbb {R}} h d m = \int _{\mathbb {R}} h(F(\cdot ))\left|F^{\prime }(\cdot )\right| d m.

(b)

Покажите, что если $\mu$ — мера на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ , подчинённая $m$ , то мера $\mu F^{-1}(\cdot )$ также подчинена $m$ , и

\frac{d \mu F^{-1}}{d m}(y) = \sum _{x_{j} \in D(y)} \frac{f\left(x_{j}\right)}{\left|F^{\prime }\left(x_{j}\right)\right|}

где $f(\cdot ) = \frac{d \mu }{d m}$ и $D(y) = \left\{ x_{j}: x_{j} \in I_{j}, F\left(x_{j}\right) = y\right\}$ .

(c)

Пусть $\mu$ — мера $N(0,1)$ на $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ , то есть

\frac{d \mu }{d m}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 n}} e^{-\frac{x^{2}}{2}},-\infty < x < \infty

Пусть $F(x) = x^{2}$ . Найдите $\frac{d \mu F^{-1}}{d m}$ .

Задача 4.23

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема относительно $m$ на ограниченных интервалах. Покажите, что для почти всех $x_{0}$ в $\mathbb {R}$ (относительно $m$ ),

\lim _{\substack {a \uparrow x_{0} \\ b \downarrow x_{0}}} \frac{1}{(b-a)} \int _{a}^{b}\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| d x = 0.

?

Задача 4.24

Используя указание к предыдущей задаче, установите теорему 4.4.5.

?

Задача 4.25

Пусть $(\Omega , \mathcal{B})$ — измеримое пространство. Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ и $\mu$ — $\sigma$ -конечные меры на $(\Omega , \mathcal{B})$ . Пусть для каждого $n \geq 1, \mu_{n} = \mu_{n a}+\mu_{n s}$ — разложение Лебега $\mu_{n}$ относительно $\mu$ , с $\mu_{n a} \ll \mu$ и $\mu_{n s} \perp \mu$ . Пусть $\lambda = \sum_{n \geq 1} \mu_{n}, \lambda_{a} = \sum_{n \geq 1} \mu_{n a}, \lambda_{s} = \sum_{n \geq 1} \mu_{n s}$ . Покажите, что $\lambda_{a} \ll \mu$ и $\lambda_{s} \perp \mu$ , и что $\lambda = \lambda_{a}+\lambda_{s}$ — разложение Лебега $\lambda$ относительно $\mu$ .

?

Задача 4.26

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — меры Радона на $\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)\right)$ , и пусть $m$ — мера Лебега на $\mathbb {R}^{k}$ . Покажите, что если $\lambda = \sum_{n = 1}^{\infty } \mu_{n}$ также является мерой Радона, то

D \lambda = \sum _{n = 1}^{\infty } D \mu _{n} \quad \text{ п.в. } \quad (m)

?

Задача 4.27

Пусть $F_{n}, n \geq 1$ — последовательность неубывающих функций из $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ . Пусть $F(x) = \sum_{n \geq 1} F_{n}(x) < \infty$ для всех $x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что $F(\cdot )$ неубывает, и

F^{\prime }(\cdot ) = \sum _{n \geq 1} F_{n}^{\prime }(\cdot ) \quad \text{ п.в. } \quad (m)

?

Задача 4.28

Пусть $E$ — измеримое по Лебегу множество в $\mathbb {R}$ . Метрическая плотность $E$ в точке $x$ определяется как

D_{E}(x) \equiv \lim _{\delta \downarrow 0} \frac{m(E \cap (x-\delta , x+\delta ))}{2 \delta }

если этот предел существует. Покажите, что $D_{E}(\cdot ) = I_{E}(\cdot )$ п.в. $m$ .

?

Задача 4.29

Пусть $F, G:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ обе абсолютно непрерывны. Покажите, что $H = F G$ также абсолютно непрерывна на $[a, b]$ , и что

\int _{[a, b]} F d G+\int _{[a, b]} G d F = F(b) G(b)-F(a) G(a).

?

Задача 4.30

(a)(b)(c)(d)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ — конечное пространство с мерой. Зафиксируем $1 \leq p < \infty$ . Пусть $T$ : $L^{p}(\mu ) \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченный линейный функционал, определённый в (3.2.10) (ср. раздел 3.2). Завершите следующий план доказательства теоремы 3.2.3 (теорема Рисса о представлении).

?

(a)

Пусть $\nu (A) \equiv T\left(I_{A}\right), A \in \mathcal{F}$ . Убедитесь, что $\nu (\cdot )$ — знакопеременная мера на $(\Omega , \mathcal{F})$ .

(b)

Убедитесь, что $\left|\nu \right| \ll \mu$ .

(c)

Пусть $g \equiv \frac{d \nu }{d \mu }$ . Покажите, что $g \in L^{q}(\mu )$ , где $q = \frac{p}{p-1}, 1 < p < \infty$ , и $q = \infty$ , если $p = 1$ .

(d)

Покажите, что $T = T_{g}$ .

Задача 4.31

Докажите теорему 4.5.2 и следствие 4.5.3.

?

Задача 4.32

Для $0 < \alpha < 1$ , постройте канторовское множество $C_{\alpha }$ , как описано в замечании 4.5.1.

?

Задача 4.33

Покажите, что канторова тернарная функция может быть выражена как в (5.5).

?

Задача 4.34

(a)(b)

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ — $\sigma$ -конечное пространство с мерой.

?

(a)

Пусть $\mathcal{G}$ — $\sigma$ -алгебра $\subset \mathcal{F}$ . Пусть $f: \Omega \rightarrow \mathbb {R}_{+}$ — $\langle \mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$ -измеримая функция. Покажите, что существует $g: \Omega \rightarrow \mathbb {R}_{+}$ , которая $\langle \mathcal{G}, \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$ -измерима, и $\nu (A) \equiv \int_{A} f d \mu = \int_{A} g d \mu$ для всех $A$ в $\mathcal{G}$ . (Указание: примените теорему 4.1.1 (b) к мерам $\nu$ и $\mu$ , ограниченным на $\mathcal{G}$ . Когда $\mu$ — вероятностная мера, $g$ называется условным математическим ожиданием $f$ при условии $\mathcal{G}$ (ср. главу 12).)

(b)

Теперь предположим, что $\mathcal{G} = \sigma \left\langle \left\{ A_{i}\right\}_{i \geq 1}\right\rangle$ , где $\left\{ A_{i}\right\}_{i \geq 1}$ — разбиение $\Omega \subset \mathcal{F}$ . Определите $g(\cdot )$ явно на каждом $A_{i}$ , таком что $0 < \mu \left(A_{i}\right) < \infty$ .

Дифференцирование