Произведения мер, свёртки и преобразования

Покажите, что $D_{1} \cup D_{2}$ счётно.

Пусть $\phi_{i}(x) = \mu_{i}(\left\{ x\right\} ) x \in \mathbb {R}, i = 1,2$. Покажите, что $\phi_{i}$ борелевски измерима при $i = 1,2$.

Покажите, что $\int \phi_{1} d \mu_{2} = \sum_{z \in D_{1} \cap D_{2}} \phi_{1}(z) \phi_{2}(z)$.

Выведите (2.11) из (c).

Покажите, что для любой абсолютно непрерывной $h: \mathbb {R}_{+} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$,

Покажите, что для любого $0 < p < \infty$,

Покажите, что для любого $0 < p < \infty$,

где $\Gamma (p) = \int_{[0, \infty )} e^{-t} t^{p-1} d t, p > 0$, а $\psi_{X}(t) = \int_{\Omega } e^{-t X} d P$, $t \in \mathbb {R}_{+}$. (Указание: (a) Примените теорему Тонелли к функции $f(t, \omega ) \equiv h^{\prime }(t) I(X(w) \geq t)$ на произведении пространств с мерой $([0, \infty ) \times \Omega , \mathcal{B}([0, \infty )) \times \mathcal{F}, m \times P)$, где $m$ — мера Лебега на $\left(\mathbb {R}_{+}, \mathcal{B}\left(\mathbb {R}_{+}\right)\right).$)

Покажите, что $A \in \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$.

Покажите, что

где $m^{(2)}$ — мера Лебега на $\left(\mathbb {R}^{2}, \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)\right)$, а $m(\cdot )$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$.

Если $g$ непрерывна и строго возрастает, покажите, что оба интеграла в (b) равны

Для $1 < A < \infty$ положим

Используя интегрирование по частям, покажите, что

и

Используя теорему Фубини, покажите, что для $0 < A < \infty$,

Заключите, используя теорему о мажорированной сходимости, что

Используя теорему 4.4.1 и тот факт, что $\phi (x) \equiv \tan x$ — взаимно однозначное строго монотонное отображение из $\left(0, \frac{\pi }{2}\right)$ в $(0, \infty )$ с обратным $\operatorname {отображением} \psi (\cdot )$ с производной $\psi^{\prime }(t) \equiv \frac{1}{1+t^{2}}, 0 < t < \infty$, заключите, что

Покажите, что для любой борелевски измеримой $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_{+}, f(x+y)$ является $\langle \mathcal{B}(\mathbb {R}) \times \mathcal{B}(\mathbb {R}), \mathcal{B}(\mathbb {R})\rangle$-измеримой из $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и

Покажите, что

Предположим, что существуют счётные множества $B_{\lambda }, B_{\mu }$, такие что $\mu \left(B_{\mu }^{c}\right) = 0 = \lambda \left(B_{\lambda }^{c}\right)$. Покажите, что существует счётное множество $B_{\nu }$, такое что $\nu \left(B_{\nu }^{c}\right) = 0$.

Предположим, что $\mu (\left\{ x\right\} ) = 0$ для всех $x$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\nu (\left\{ x\right\} ) = 0$ для всех $x$ в $\mathbb {R}$.

Предположим, что $\mu \ll m$ с $\frac{d \mu }{d m} = h$. Покажите, что $\nu \ll m$, и найдите $\frac{d \nu }{d m}$ через $h, \mu$ и $\lambda$.

Предположим, что $\mu \ll m$ и $\lambda \ll m$. Покажите, что

Покажите, что $\left(F_{1} * F_{2}\right)(x) \equiv \int_{\mathbb {R}} F_{1}(x-u) d F_{2}(u)$ корректно определена и является функцией распределения на $\mathbb {R}$.

Покажите также, что $\left(F_{1} * F_{2}\right)(\cdot ) = \left(F_{2} * F_{1}\right)(\cdot )$.

Предположим, что $t \in \mathbb {R}$ таково, что $\int e^{t x} d F_{i}(x) < \infty$ при $i = 1,2$. Покажите, что $\int e^{t x} d\left(F_{1} * F_{2}\right)(x) = \left(\int e^{t x} d F_{1}(x)\right)\left(\int e^{t x} d F_{2}(x)\right)$.

Покажите, что если $f$ непрерывна и ограничена на $\mathbb {R}$, то и $f * g$ также.

Покажите, что если $f$ дифференцируема с ограниченной производной на $\mathbb {R}$, то и $f * g$ также. (Указание: используйте теорему о мажорированной сходимости.)

Покажите, что если $1 \leq p < \infty$, то для всех $x$ в $\mathbb {R}$

и, следовательно,

корректно определена п.в. $(m)$, и

причём равенство «=» выполняется тогда и только тогда, когда либо $f = 0$ п.в., либо $g = 0$ п.в.

Покажите, что если $p = \infty$, то

и «$=$» может выполняться для некоторых ненулевых $f$ и $g$. (Указание к (a): используйте неравенство Йенсена с вероятностной мерой $d \mu = \frac{\left|f\right| d m}{\left\| f\right\|_{1}}$, если $\left\| f\right\|_{1} > 0$.)

Покажите, что $f * g$ корректно определена и равномерно непрерывна.

Покажите, что если $1 < p < \infty$,

(Указание: для (a) используйте неравенство Гёльдера и лемму 5.7.7. Для (b) приблизьте $g$ простыми функциями.)

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ борелевски измерима и $\int_{A}\left|f\right| d m < \infty$ для всех ограниченных интервалов $A$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $f * g$ корректно определена и бесконечно дифференцируема.

Покажите, что для любой $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ существует последовательность $\left\{ g_{n}\right\}_{n \geq 1}$ таких функций, что $f * g_{n} \rightarrow f$ в $L^{1}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $f_{\sigma }$ бесконечно дифференцируема.

Покажите, что если $f$ непрерывна и равна нулю вне ограниченного интервала, то $f_{\sigma }$ сходится к $g$ равномерно на $\mathbb {R}$ при $\sigma \rightarrow 0$.

Покажите, что если $f \in L^{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < \infty$, то $f_{\sigma } \rightarrow f$ в $L^{p}(\mathbb {R})$ при $\sigma \rightarrow 0$.

Покажите, что $h = f * g$ для некоторой ограниченной $g$ с ограниченным носителем.

Покажите, что $h(\cdot )$ непрерывна и $\lim_{\left|x\right| \rightarrow \infty } h(x) = 0$. (Указание: для $1 < p < \infty$ используйте неравенство Гёльдера и покажите, что $m(\left(A+x_{1}\right) \triangle \left(A+x_{2}\right)) \rightarrow 0$ при $\left|x_{1}-x_{2}\right| \rightarrow 0$.)

Убедитесь в утверждениях из примеров 5.4.1 непосредственно.

Убедитесь в том же, используя производящие функции.

Пусть $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $x^{k} f(x) \in L^{1}(\mathbb {R})$ для некоторого $k \geq 1$. Покажите, что $\hat{f}(\cdot )$ $k$ раз дифференцируема на $\mathbb {R}$, причём все производные $\hat{f}^{(r)}(t) \rightarrow 0$ при $\left|t\right| \rightarrow \infty$ для $r \leq k$.

Пусть $f \in L^{1}(\mathbb {R})$. Предположим, что $\int \left|t \hat{f}(t)\right| d t < \infty$. Покажите, что существует функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, дифференцируемая, такая что $\lim_{\left|x\right| \rightarrow \infty }\left(\left|g(x)\right|+\left|g^{\prime }(x)\right|\right) = 0$ и $g = f$ п.в. $(m)$. Распространите это на случай $\int \left|t^{k} \hat{f}(t)\right| d t < \infty$ для некоторого $k > 1$. (Указание: рассмотрите $g(x) = \frac{1}{2 \pi } \int e^{-\iota t x} \hat{f}(t) d t$.)

Покажите, что $\hat{f}(\cdot )$ вещественнозначна, дифференцируема и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению $\hat{f}^{\prime }(t)+t \hat{f}(t) = 0, t \in \mathbb {R}$ и $\hat{f}(0) = 1$. Найдите $\hat{f}(t)$.

Для $\mu$ в $\mathbb {R}, \sigma > 0$ положим

Найдите $\hat{f}_{\mu , \sigma }$ и убедитесь, что для любых $\left(\mu_{i}, \sigma_{i}\right), i = 1,2$,

(Указание к (b): используйте преобразование Фурье и единственность.)

Найдите $\hat{h}(n) \equiv \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi }^{\pi } e^{-\iota n x} h(x) d x, n = 0, \pm 1, \pm 2$.

Покажите, что $\sum_{n = -\infty }^{\infty }\left|\hat{h}(n)\right| < \infty$.

Покажите, что $S_{n}(h, x) \equiv \sum_{j = -n}^{+n} \hat{h}(j) e^{\iota j x}$ сходится к $h(x)$ равномерно на $[-\pi , \pi ]$.

Убедитесь, что

и

(Замечание: этот пример показывает, что ряд Фурье функции может сходиться очень медленно, как в данном случае, где скорость убывания равна $\frac{1}{n}$.)