$\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{C}^n$

Покажите, что $\alpha +\beta = \beta +\alpha$ для всех $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$.

Покажите, что $(\alpha +\beta )+\lambda = \alpha +(\beta +\lambda )$ для всех $\alpha , \beta , \lambda \in \mathbb {C}$.

Покажите, что $(\alpha \beta ) \lambda = \alpha (\beta \lambda )$ для всех $\alpha , \beta , \lambda \in \mathbb {C}$.

Покажите, что $\lambda (\alpha +\beta ) = \lambda \alpha +\lambda \beta$ для всех $\lambda , \alpha , \beta \in \mathbb {C}$.

Покажите, что для каждого $\alpha \in \mathbb {C}$ существует единственный $\beta \in \mathbb {C}$, такой что $\alpha +\beta = 0$.

Покажите, что для каждого $\alpha \in \mathbb {C}$ с $\alpha \neq 0$ существует единственный $\beta \in \mathbb {C}$, такой что $\alpha \beta = 1$.

Покажите, что

является кубическим корнем из 1 (то есть его куб равен 1).

Найдите два различных квадратных корня из $i$.

Найдите $x \in \mathbb {R}^{4}$, такой что

Объясните, почему не существует $\lambda \in \mathbb {C}$, такого что

Покажите, что $(x+y)+z = x+(y+z)$ для всех $x, y, z \in \mathbf{F}^{n}$.

Покажите, что $(a b) x = a(b x)$ для всех $x \in \mathbf{F}^{n}$ и всех $a, b \in \mathbf{F}$.

Покажите, что $1 x = x$ для всех $x \in \mathbf{F}^{n}$.

Покажите, что $\lambda (x+y) = \lambda x+\lambda y$ для всех $\lambda \in \mathbf{F}$ и всех $x, y \in \mathbf{F}^{n}$.

Покажите, что $(a+b) x = a x+b x$ для всех $a, b \in \mathbf{F}$ и всех $x \in \mathbf{F}^{n}$.