1B

Определение векторного пространства

[8/0%]
Показать
LaTeX
Задача 1B.1

Докажите, что −(−v)=v-(-v) = v для каждого v∈Vv \in V.

?
Задача 1B.2

Пусть a∈F,v∈Va \in \mathbf{F}, v \in V и av=0a v = 0. Докажите, что a=0a = 0 или v=0v = 0.

?
Задача 1B.3

Пусть v,w∈Vv, w \in V. Объясните, почему существует единственный x∈Vx \in V, такой что v+3x=wv+3 x = w.

?
Задача 1B.4

Пустое множество не является векторным пространством. Пустое множество не удовлетворяет только одному из требований, перечисленных в определении векторного пространства (1.20). Какому?

?
Задача 1B.5

Покажите, что в определении векторного пространства (1.20) условие существования аддитивного обратного элемента можно заменить условием

0v=0 для всех v∈V 0 v = 0 \text{ для всех } v \in V

Здесь 0 в левой части — это число 0, а 0 в правой части — аддитивная единица (нулевой элемент) пространства VV.

?
Примечание.
?

Фраза «условие можно заменить» в определении означает, что совокупность объектов, удовлетворяющих определению, не меняется, если заменить исходное условие новым условием.

Задача 1B.6

Пусть ∞\infty и −∞-\infty обозначают два различных объекта, ни один из которых не принадлежит R. Определим сложение и умножение на скаляр на R∪{∞,−∞}\mathbb {R} \cup \left\{ \infty ,-\infty \right\} так, как можно догадаться по обозначениям. А именно, сумма и произведение двух вещественных чисел определяются как обычно, а для t∈Rt \in \mathbb {R} положим

t∞={−∞ если t<0,0 если t=0,∞ если t>0,t(−∞)={∞ если t<0,0 если t=0,−∞ если t>0, t \infty = \begin{cases} -\infty & \text{ если } t < 0, \\ 0 & \text{ если } t = 0, \\ \infty & \text{ если } t > 0, \end{cases} \qquad t(-\infty ) = \begin{cases} \infty & \text{ если } t < 0, \\ 0 & \text{ если } t = 0, \\ -\infty & \text{ если } t > 0, \end{cases}

и

t+∞=∞+t=∞+∞=∞t+(−∞)=(−∞)+t=(−∞)+(−∞)=−∞∞+(−∞)=(−∞)+∞=0 \begin{aligned} t+\infty & = \infty +t = \infty +\infty = \infty \\ t+(-\infty ) & = (-\infty )+t = (-\infty )+(-\infty ) = -\infty \\ \infty +(-\infty ) & = (-\infty )+\infty = 0 \end{aligned}

Является ли R∪{∞,−∞}\mathbb {R} \cup \left\{ \infty ,-\infty \right\} с этими операциями сложения и умножения на скаляр векторным пространством над R? Объясните ответ.

?
Задача 1B.7

Пусть SS — непустое множество. Обозначим через VSV^{S} множество функций из SS в VV. Определите естественным образом сложение и умножение на скаляр на VSV^{S} и покажите, что VSV^{S} с этими определениями является векторным пространством.

?
Задача 1B.8

Пусть VV — вещественное векторное пространство. - Комплексификацией VV, обозначаемой VCV_{\mathrm{C}}, называется V×VV \times V. Элемент VCV_{\mathrm{C}} — это упорядоченная пара (u,v)(u, v), где u,v∈Vu, v \in V, но мы записываем её как u+ivu+i v. - Сложение на VCV_{\mathrm{C}} определяется как

(u1+iv1)+(u2+iv2)=(u1+u2)+i(v1+v2) \left(u_{1}+i v_{1}\right)+\left(u_{2}+i v_{2}\right) = \left(u_{1}+u_{2}\right)+i\left(v_{1}+v_{2}\right)

для всех u1,v1,u2,v2∈Vu_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2} \in V. - Комплексное умножение на скаляр на VCV_{\mathrm{C}} определяется как

(a+bi)(u+iv)=(au−bv)+i(av+bu) (a+b i)(u+i v) = (a u-b v)+i(a v+b u)

для всех a,b∈Ra, b \in \mathbb {R} и всех u,v∈Vu, v \in V. Докажите, что с определениями сложения и умножения на скаляр, приведёнными выше, VCV_{\mathrm{C}} является комплексным векторным пространством.

?
Примечание.
?

Думайте о VV как о подмножестве VCV_{\mathrm{C}}, отождествляя u∈Vu \in V с u+i0u+i 0. Тогда построение VCV_{\mathrm{C}} из VV можно рассматривать как обобщение построения Cn\mathbb {C}^{n} из Rn\mathbb {R}^{n}.