Подпространства

Для каждого из следующих подмножеств $\mathbf{F}^{3}$ определите, является ли оно подпространством $\mathbf{F}^{3}$.

Проверьте все утверждения о подпространствах из примера 1.35.

Покажите, что множество дифференцируемых вещественнозначных функций $f$ на интервале $(-4,4)$, таких что $f^{\prime }(-1) = 3 f(2)$, является подпространством $\mathbb {R}^{(-4,4)}$.

Пусть $b \in \mathbb {R}$. Покажите, что множество непрерывных вещественнозначных функций $f$ на интервале $[0,1]$, таких что $\int_{0}^{1} f = b$, является подпространством $\mathbb {R}^{[0,1]}$ тогда и только тогда, когда $b = 0$.

Является ли $\mathbb {R}^{2}$ подпространством комплексного векторного пространства $\mathbb {C}^{2}$?

Докажите или приведите контрпример: если $U$ — непустое подмножество $\mathbb {R}^{2}$, замкнутое относительно сложения и относительно взятия аддитивных обратных элементов (то есть $-u \in U$ всякий раз, когда $u \in U$), то $U$ является подпространством $\mathbb {R}^{2}$.

Приведите пример непустого подмножества $U$ пространства $\mathbb {R}^{2}$, которое замкнуто относительно умножения на скаляр, но не является подпространством $\mathbb {R}^{2}$.

Функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется периодической, если существует положительное число $p$, такое что $f(x) = f(x+p)$ для всех $x \in \mathbb {R}$. Является ли множество периодических функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ подпространством $\mathbb {R}^{\mathbb {R}}$? Объясните ответ.

Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ — подпространства $V$. Докажите, что пересечение $V_{1} \cap V_{2}$ является подпространством $V$.

Докажите, что пересечение любого набора подпространств $V$ является подпространством $V$.

Докажите, что объединение двух подпространств $V$ является подпространством $V$ тогда и только тогда, когда одно из подпространств содержится в другом.

Докажите, что объединение трёх подпространств $V$ является подпространством $V$ тогда и только тогда, когда одно из подпространств содержит два других.

Пусть

Опишите $U+W$ с помощью символов, а также дайте описание $U+W$, не использующее символов.

Пусть $U$ — подпространство $V$. Чему равно $U+U$?

Является ли операция сложения подпространств $V$ коммутативной? Другими словами, если $U$ и $W$ — подпространства $V$, верно ли, что $U+W = W+U$?

Является ли операция сложения подпространств $V$ ассоциативной? Другими словами, если $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства $V$, верно ли, что

Обладает ли операция сложения подпространств $V$ нейтральным элементом? Какие подпространства имеют аддитивные обратные элементы?

Докажите или приведите контрпример: если $V_{1}, V_{2}, U$ — подпространства $V$, такие что

то $V_{1} = V_{2}$.

Пусть

Найдите подпространство $W$ пространства $\mathbf{F}^{4}$, такое что $\mathbf{F}^{4} = U \oplus W$.

Пусть

Найдите подпространство $W$ пространства $\mathbf{F}^{5}$, такое что $\mathbf{F}^{5} = U \oplus W$.

Пусть

Найдите три подпространства $W_{1}, W_{2}, W_{3}$ пространства $\mathbf{F}^{5}$, ни одно из которых не равно $\left\{ 0\right\}$, такие что $\mathbf{F}^{5} = U \oplus W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{3}$.

Докажите или приведите контрпример: если $V_{1}, V_{2}, U$ — подпространства $V$, такие что

то $V_{1} = V_{2}$.

Функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется чётной, если

для всех $x \in \mathbb {R}$. Функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется нечётной, если

для всех $x \in \mathbb {R}$. Обозначим через $V_{\mathrm{e}}$ множество вещественнозначных чётных функций на $\mathbb {R}$, а через $V_{\mathrm{o}}$ — множество вещественнозначных нечётных функций на $\mathbb {R}$. Покажите, что $\mathbb {R}^{\mathbb {R}} = V_{\mathrm{e}} \oplus V_{\mathrm{o}}$.