Линейная оболочка и линейная независимость

Найдите набор из четырёх различных векторов в $\mathbf{F}^{3}$, линейная оболочка которых равна

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ порождают $V$, то набор

также порождает $V$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$. Для $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ положим

Покажите, что $\operatorname {span}\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) = \operatorname {span}\left(w_{1}, \ldots , w_{m}\right)$.

Найдите число $t$, такое что

не является линейно независимым набором в $\mathbb {R}^{3}$.

Покажите, что набор (2,3,1), (1, -1,2), (7,3,c) линейно зависим в $\mathbf{F}^{3}$ тогда и только тогда, когда $c = 8$.

Пусть $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ линейно независимы в $V$. Докажите, что набор

также линейно независим.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор векторов в $V$, то

линейно независим.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор векторов в $V$ и $\lambda \in \mathbf{F}$ с $\lambda \neq 0$, то $\lambda v_{1}, \lambda v_{2}, \ldots , \lambda v_{m}$ линейно независим.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, \ldots , v_{m}$ и $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — линейно независимые наборы векторов в $V$, то набор $v_{1}+w_{1}, \ldots , v_{m}+w_{m}$ линейно независим.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независимы в $V$ и $w \in V$. Докажите, что если $v_{1}+w, \ldots , v_{m}+w$ линейно зависим, то $w \in \operatorname {span}\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right)$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независимы в $V$ и $w \in V$. Покажите, что

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$. Для $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ положим

Покажите, что набор $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим тогда и только тогда, когда набор $w_{1}, \ldots , w_{m}$ линейно независим.

Объясните, почему не существует набора из шести многочленов, линейно независимого в $\mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})$.

Объясните, почему никакой набор из четырёх многочленов не порождает $\mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})$.

Докажите, что $V$ бесконечномерно тогда и только тогда, когда существует последовательность $v_{1}, v_{2}, \ldots$ векторов в $V$, такая что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим при каждом натуральном $m$.

Докажите, что $\mathbf{F}^{\infty }$ бесконечномерно.

Докажите, что вещественное векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале $[0,1]$ бесконечномерно.

Пусть $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m}$ — многочлены в $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$, такие что $p_{k}(2) = 0$ для каждого $k \in \left\{ 0, \ldots , m\right\}$. Докажите, что $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m}$ не является линейно независимым в $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$.