Ортонормированные базисы

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — набор векторов в $V$, таких что

для всех $a_{1}, \ldots , a_{m} \in \mathbf{F}$. Покажите, что $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный набор. Эта задача даёт утверждение, обратное к 6.24.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный набор в $V$ и $v \in V$. Докажите, что

Пусть $n$ — положительное целое число. Докажите, что

— ортонормированный набор векторов в $C[-\pi , \pi ]$, векторном пространстве непрерывных вещественнозначных функций на $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением

Пусть $f:[-\pi , \pi ] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Для каждого неотрицательного целого $k$ определим

Докажите, что

Указанное выше неравенство на самом деле обращается в равенство для всех непрерывных функций $f:[-\pi , \pi ] \rightarrow \mathbb {R}$. Однако доказательство того, что это неравенство является равенством, использует технику рядов Фурье, выходящую за рамки этой книги.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно базиса $(1,0,0),(1,1,1),(1,1,2)$. Найдите ортонормированный базис $\mathbb {R}^{3}$, относительно которого $T$ имеет верхнетреугольную матрицу.

Превратите $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$ в пространство со скалярным произведением, определив $\left\langle p, q \right\rangle = \int_{0}^{1} p q$ для всех $p, q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — результат применения процесса Грама-Шмидта к линейно независимому набору $v_{1}, \ldots , v_{m}$ в $V$. Докажите, что $\left\langle v_{k}, e_{k} \right\rangle > 0$ для каждого $k = 1, \ldots , m$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор в $V$. Объясните, почему ортонормированный набор, полученный по формулам процесса Грама-Шмидта (6.32), является единственным ортонормированным набором $e_{1}, \ldots , e_{m}$ в $V$, таким что $\left\langle v_{k}, e_{k} \right\rangle > 0$ и $\operatorname {span}\left(v_{1}, \ldots , v_{k}\right) = \operatorname {span}\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$ для каждого $k = 1, \ldots , m$.

Найдите многочлен $q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$, такой что $p\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{1} p q$ для каждого $p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$.

Найдите многочлен $q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$, такой что

для каждого $p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что набор $v_{1}, \ldots , v_{m}$ векторов в $V$ линейно зависим тогда и только тогда, когда формула процесса Грама-Шмидта из 6.32 даёт $f_{k} = 0$ для некоторого $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением и $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор векторов в $V$. Докажите, что существует ровно $2^{m}$ ортонормированных наборов $e_{1}, \ldots , e_{m}$ векторов в $V$, таких что

для всех $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$.

Пусть $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}$ и $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{2}$ — скалярные произведения на $V$, такие что $\left\langle u, v \right\rangle_{1} = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle u, v \right\rangle_{2} = 0$. Докажите, что существует положительное число $c$, такое что $\left\langle u, v \right\rangle_{1} = c\left\langle u, v \right\rangle_{2}$ для каждых $u, v \in V$.

Пусть $V$ конечномерно. Пусть $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1},\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{2}$ — скалярные произведения на $V$ с соответствующими нормами $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$. Докажите, что существует положительное число $c$, такое что $\left\| v\right\|_{1} \leq c\left\| v\right\|_{2}$ для каждого $v \in V$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $V$ конечномерно. Докажите, что если $T$ — оператор на $V$, такой что $1$ — единственное собственное значение $T$ и $\left\| T v\right\| \leq \left\| v\right\|$ для всех $v \in V$, то $T$ — тождественный оператор.

Пусть $u_{1}, \ldots , u_{m}$ — линейно независимый набор в $V$. Покажите, что существует $v \in V$, такой что $\left\langle u_{k}, v \right\rangle = 1$ для всех $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$. Докажите, что существует базис $u_{1}, \ldots , u_{n}$ пространства $V$, такой что

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$, $V$ конечномерно, и $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$ таково, что

для всех $S, T \in \mathcal{E}$. Докажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет верхнетреугольную матрицу. > Эта задача усиливает задачу 9(b) раздела 5E (в контексте пространств со скалярным произведением), утверждая, что базис в той задаче можно выбрать ортонормированным.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$, $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$, и все собственные значения $T$ по модулю меньше $1$. Пусть $\epsilon > 0$. Докажите, что существует положительное целое число $m$, такое что $\left\| T^{m} v\right\| \leq \epsilon \left\| v\right\|$ для каждого $v \in V$.

Пусть $C[-1,1]$ — векторное пространство непрерывных вещественнозначных функций на отрезке $[-1,1]$ со скалярным произведением

для всех $f, g \in C[-1,1]$. Пусть $\varphi$ — линейный функционал на $C[-1,1]$, определённый как $\varphi (f) = f(0)$. Покажите, что не существует $g \in C[-1,1]$, такого что

для каждого $f \in C[-1,1]$. Эта задача показывает, что теорема Рисса о представлении (6.42) не выполняется для бесконечномерных векторных пространств без дополнительных предположений о $V$ и $\varphi$.

Для всех $u, v \in V$ определим $d(u, v) = \left\| u-v\right\|$.