Определители

Докажите или приведите контрпример: $S, T \in \mathcal{L}(V) \Longrightarrow \operatorname {det}(S+T) = \operatorname {det} S+\operatorname {det} T$.

Пусть первый столбец квадратной матрицы $A$ состоит из одних нулей, за исключением, возможно, первого элемента $A_{1,1}$. Пусть $B$ — матрица, получаемая из $A$ вычёркиванием первой строки и первого столбца $A$. Покажите, что $\operatorname {det} A = A_{1,1} \operatorname {det} B$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Докажите, что $\operatorname {det}(I+T) = 1$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $S$ унитарен тогда и только тогда, когда $\left|\operatorname {det} S\right| = \left\| S\right\| = 1$.

Пусть $A$ — блочная верхнетреугольная матрица

где каждая $A_{k}$ на диагонали — квадратная матрица. Докажите, что

Пусть $A = \left(\begin{array}{lll}v_{1} & \cdots & v_{n}\end{array}\right)$ — матрица размера $n$-на-$n$, где $v_{k}$ обозначает $k^{\text{th }}$ столбец $A$. Покажите, что если $\left(m_{1}, \ldots , m_{n}\right) \in$ perm $n$, то

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Пусть $p$ обозначает характеристический многочлен $T$, а $q$ обозначает характеристический многочлен $T^{-1}$. Докажите, что

для всех ненулевых $z \in \mathbf{F}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — оператор без собственных значений (что означает, что $\mathbf{F} = \mathbb {R}$). Докажите, что $\operatorname {det} T > 0$.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство чётной размерности, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $\operatorname {det} T < 0$. Докажите, что $T$ имеет по меньшей мере два различных собственных значения.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство нечётной размерности и $T \in \mathcal{L}(V)$. Не используя минимальный многочлен, докажите, что $T$ имеет собственное значение.

Докажите или приведите контрпример: если $\mathbf{F} = \mathbb {R}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $\operatorname {det} T > 0$, то $T$ имеет квадратный корень.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $S$ обратим. Определим $p: \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{F}$ формулой

Докажите, что $p$ — многочлен степени $\operatorname {dim} V$ и что коэффициент при $z^{\operatorname {dim} V}$ в этом многочлене равен $\operatorname {det} S$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $n = \operatorname {dim} V > 2$. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ обозначают собственные значения $T$, каждое из которых включено столько раз, какова его кратность.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T$ — положительный оператор на $V$. Докажите, что

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$. Используя полярное разложение, дайте доказательство того, что

отличное от доказательства, приведённого ранее (см. 9.60).

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Определим $g: \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{F}$ формулой $g(x) = \operatorname {det}(I+x T)$. Покажите, что $g^{\prime }(0) = \operatorname {tr} T$.

Пусть $a, b, c$ — положительные числа. Найдите объём эллипсоида

найдя множество $\Omega \subseteq \mathbb {R}^{3}$, объём которого вам известен, и оператор $T$ на $\mathbb {R}^{3}$, такой что $T(\Omega )$ равно указанному выше эллипсоиду.

Пусть $A$ — обратимая квадратная матрица. Докажите, что неравенство Адамара (9.66) обращается в равенство тогда и только тогда, когда каждый столбец $A$ ортогонален остальным столбцам.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением, $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$, и $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор.

Пусть $A$ — матрица размера $n$-на-$n$, и пусть $c$ таково, что $\left|A_{j, k}\right| \leq c$ для всех $j, k \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$. Докажите, что

Формула для определителя матрицы (9.46) показывает, что $\left|\operatorname {det} A\right| \leq c^{n} n$!. Однако оценка, даваемая этой задачей, гораздо лучше. Например, если $c = 1$ и $n = 100$, то $c^{n} n!\approx 10^{158}$, но оценка, даваемая этой задачей, — гораздо меньшее число $10^{100}$. Если $n$ является целой степенью $2$, то неравенство выше точное и не может быть улучшено.

Пусть $n$ — положительное целое число и $\delta : \mathrm{C}^{n, n} \rightarrow \mathrm{C}$ — функция, такая что

для всех $A, B \in \mathbb {C}^{n, n}$, и $\delta (A)$ равно произведению диагональных элементов $A$ для каждой диагональной матрицы $A \in \mathbb {C}^{n, n}$. Докажите, что

для всех $A \in \mathbb {C}^{n, n}$. Напомним, что $\mathbb {C}^{n, n}$ обозначает множество матриц размера $n$-на-$n$ с элементами из $\mathbb {C}$. Эта задача показывает, что определитель — единственная функция, определённая на квадратных матрицах, которая мультипликативна и обладает требуемым поведением на диагональных матрицах. Этот результат аналогичен задаче 10 раздела 8D, которая показывает, что след однозначно определяется своими алгебраическими свойствами.