Банк задач по математике

Задача 1A.1

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция такая, что

L(f, P,[a, b]) = U(f, P,[a, b])

для некоторого разбиения $P$ отрезка $[a, b]$ . Докажите, что $f$ — постоянная функция на $[a, b]$ .

?

Задача 1A.2

Пусть $a \leq s < t \leq b$ . Определим $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом:

f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ если } s < x < t \\ 0 & \text{ иначе }\end{cases}

Докажите, что $f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ и что $\int_{a}^{b} f = t-s$ .

?

Задача 1A.3

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция. Докажите, что $f$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon > 0$ существует разбиение $P$ отрезка $[a, b]$ такое, что

U(f, P,[a, b])-L(f, P,[a, b]) < \varepsilon .

?

Задача 1A.4

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируемы по Риману. Докажите, что $f+g$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ и

\int _{a}^{b}(f+g) = \int _{a}^{b} f+\int _{a}^{b} g.

?

Задача 1A.5

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману. Докажите, что функция $-f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ и

\int _{a}^{b}(-f) = -\int _{a}^{b} f

?

Задача 1A.6

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману. Пусть $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция такая, что $g(x) = f(x)$ для всех, кроме конечного числа, $x \in [a, b]$ . Докажите, что $g$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ и

\int _{a}^{b} g = \int _{a}^{b} f

?

Задача 1A.7

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция. Для $n \in \mathbb {N}$ обозначим через $P_{n}$ разбиение, делящее $[a, b]$ на $2^{n}$ промежутков одинаковой длины. Докажите, что

L(f,[a, b]) = \lim _{n \rightarrow \infty } L\left(f, P_{n},[a, b]\right) \text{ и } U(f,[a, b]) = \lim _{n \rightarrow \infty } U\left(f, P_{n},[a, b]\right)

?

Задача 1A.8

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману. Докажите, что

\int _{a}^{b} f = \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{b-a}{n} \sum _{j = 1}^{n} f\left(a+\frac{j(b-a)}{n}\right).

?

Задача 1A.9

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману. Докажите, что если $c, d \in \mathbb {R}$ и $a \leq c < d \leq b$ , то $f$ интегрируема по Риману на $[c, d]$ .

?

Примечание.

?

Утверждение, что $f$ интегрируема по Риману на $[c, d]$ , означает, что $f$ с областью определения, ограниченной до $[c, d]$ , интегрируема по Риману.

Задача 1A.10

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция и $c \in (a, b)$ . Докажите, что $f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ тогда и только тогда, когда $f$ интегрируема по Риману на $[a, c]$ и $f$ интегрируема по Риману на $[c, b]$ . Более того, докажите, что если эти условия выполнены, то

\int _{a}^{b} f = \int _{a}^{c} f+\int _{c}^{b} f

?

Задача 1A.11

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману. Определим $F:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом:

F(t) = \begin{cases} 0 & \text{ если } t = a \\ \int _{a}^{t} f & \text{ если } t \in (a, b]\end{cases}

Докажите, что $F$ непрерывна на $[a, b]$ .

?

Задача 1A.12

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману. Докажите, что $\left|f\right|$ интегрируема по Риману и что

\left|\int _{a}^{b} f\right| \leq \int _{a}^{b}\left|f\right|

?

Задача 1A.13

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая функция, то есть $c, d \in [a, b]$ и $c < d$ влечёт $f(c) \leq f(d)$ . Докажите, что $f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ .

?

Задача 1A.14

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность интегрируемых по Риману функций на $[a, b]$ такая, что $f_{1}, f_{2}, \ldots$ равномерно сходится на $[a, b]$ к функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ . Докажите, что $f$ интегрируема по Риману и

\int _{a}^{b} f = \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} f_{n}

?

Обзор: интеграл Римана