11C

Преобразование Фурье

[21/14%]
Показать
LaTeX
Задача 11C.1

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что ∥f^∥∞=∥f∥1\left\| \widehat{f}\right\|_{\infty } = \left\| f\right\|_{1} тогда и только тогда, когда существуют ζ∈∂D\zeta \in \partial \mathbf{D} и t∈Rt \in \mathbb {R}, такие что ζf(x)e−itx≥0\zeta f(x) e^{-i t x} \geq 0 для почти всех x∈Rx \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.2

Пусть f(x)=xe−πx2f(x) = x e^{-\pi x^{2}} для всех x∈Rx \in \mathbb {R}. Покажите, что f^=−if\widehat{f} = -i f.

?
Задача 11C.3

Пусть f(x)=4πx2e−πx2−e−πx2f(x) = 4 \pi x^{2} e^{-\pi x^{2}}-e^{-\pi x^{2}} для всех x∈Rx \in \mathbb {R}. Покажите, что f^=−f\widehat{f} = -f.

?
Задача 11C.4

Найдите f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}), такую что f≠0f \neq 0 и f^=if\widehat{f} = i f.

?
Задача 11C.5

Докажите, что если pp — многочлен на R\mathbb {R} с комплексными коэффициентами и f:R→Cf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} определена как f(x)=p(x)e−πx2f(x) = p(x) e^{-\pi x^{2}}, то существует многочлен qq на R\mathbb {R} с комплексными коэффициентами, такой что deg⁡q=deg⁡p\operatorname {deg} q = \operatorname {deg} p и f^(t)=q(t)e−πt2\widehat{f}(t) = q(t) e^{-\pi t^{2}} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.6

Пусть

f(x)={xe−2πx если x>00 если x≤0 f(x) = \begin{cases} x e^{-2 \pi x} & \text{ если } x > 0 \\ 0 & \text{ если } x \leq 0\end{cases}

Покажите, что f^(t)=14π2(1+it)2\widehat{f}(t) = \frac{1}{4 \pi^{2}(1+i t)^{2}} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.7

Докажите формулы из 11.55 для преобразований Фурье сдвигов, поворотов и растяжений.

?
Задача 11C.8

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и n∈Nn \in \mathbb {N}. Определим g:R→Cg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} формулой g(x)=xnf(x)g(x) = x^{n} f(x). Докажите, что если g∈L1(R)g \in L^{1}(\mathbb {R}), то f^\widehat{f} является nn раз непрерывно дифференцируемой на R\mathbb {R} и

(f^)(n)(t)=(−2πi)ng^(t) (\widehat{f})^{(n)}(t) = (-2 \pi i)^{n} \widehat{g}(t)

для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.9

Пусть n∈Nn \in \mathbb {N} и f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) является nn раз непрерывно дифференцируемой, причём f(k)∈L1(R)f^{(k)} \in L^{1}(\mathbb {R}) для k=1,…,nk = 1, \ldots , n. Докажите, что если t∈Rt \in \mathbb {R}, то

f(n)^(t)=(2πit)nf^(t) \widehat{f^{(n)}}(t) = (2 \pi i t)^{n} \widehat{f}(t)
?
Задача 11C.10

Пусть 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty, f∈Lp(R)f \in L^{p}(\mathbb {R}) и g∈Lp′(R)g \in L^{p^{\prime }}(\mathbb {R}). Докажите, что f∗gf * g — равномерно непрерывная функция на R\mathbb {R}.

?
Задача 11C.11

Пусть f∈L∞(R),x∈Rf \in L^{\infty }(\mathbb {R}), x \in \mathbb {R} и ff непрерывна в точке xx. Докажите, что

lim⁡y↓0(Pyf)(x)=f(x). \lim _{y \downarrow 0}\left(\mathcal{P}_{y} f\right)(x) = f(x).
?
Задача 11C.12

Пусть p∈[1,∞]p \in [1, \infty ] и f∈Lp(R)f \in L^{p}(\mathbb {R}). Докажите, что Py(Py′f)=Py+y′f\mathcal{P}_{y}\left(\mathcal{P}_{y^{\prime }} f\right) = \mathcal{P}_{y+y^{\prime }} f для всех y,y′>0y, y^{\prime } > 0.

?
Задача 11C.13

Пусть p∈[1,∞]p \in [1, \infty ] и f∈Lp(R)f \in L^{p}(\mathbb {R}). Докажите, что если 0<y<y′0 < y < y^{\prime }, то

∥Pyf∥p≥∥Py′f∥p \left\| \mathcal{P}_{y} f\right\| _{p} \geq \left\| \mathcal{P}_{y^{\prime }} f\right\| _{p}
?
Задача 11C.14

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}).

?
(a)

Докажите, что f‾^(t)=f^(−t)‾\widehat{\overline{f}}(t) = \overline{\hat{f}(-t)} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

(b)

Докажите, что f(x)∈Rf(x) \in \mathbb {R} для почти всех x∈Rx \in \mathbb {R} тогда и только тогда, когда f^(t)=f^(−t)^\widehat{f}(t) = \widehat{\widehat{f}(-t)} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

Задача 11C.15

Определим f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) формулой f(x)=e−x4χ[0,∞)(x)f(x) = e^{-x^{4}} \chi_{[0, \infty )}(x). Покажите, что f^∉L1(R)\widehat{f} \notin L^{1}(\mathbb {R}).

?
Задача 11C.16

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и f^∈L1(R)\widehat{f} \in L^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что f∈L2(R)f \in L^{2}(\mathbb {R}) и f^∈L2(R)\widehat{f} \in L^{2}(\mathbb {R}).

?
Задача 11C.17

Докажите, что существует непрерывная функция g:R→Rg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, такая что lim⁡t→±∞g(t)=0\lim_{t \rightarrow \pm \infty } g(t) = 0 и g∉{f^:f∈L1(R)}g \notin \left\{ \widehat{f}: f \in L^{1}(\mathbb {R})\right\}.

?
Задача 11C.18

Докажите, что если f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}), то ∥f^∥2=∥f∥2\left\| \widehat{f}\right\|_{2} = \left\| f\right\|_{2}.

?
Примечание.
?

Это упражнение слегка усиливает теорему Планшереля (11.82), поскольку здесь используется более слабое предположение f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) вместо f∈L1(R)∩L2(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R}). Благодаря теореме Планшереля, здесь достаточно доказать, что если f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и ∥f∥2=∞\left\| f\right\|_{2} = \infty, то ∥f^∥2=∞\left\| \widehat{f}\right\|_{2} = \infty.

Задача 11C.19

Пусть y>0y > 0. Определим оператор TT на L2(R)L^{2}(\mathbb {R}) формулой Tf=f∗PyT f = f * P_{y}.

?
(a)

Покажите, что TT — самосопряжённый оператор на L2(R)L^{2}(\mathbb {R}).

(b)

Покажите, что sp⁡(T)=[0,1]\operatorname {sp}(T) = [0,1].

Примечание.
?

Поскольку спектр любого компактного оператора является счётным множеством (по 10.93), пункт (b) выше показывает, что TT не является компактным оператором. Это заключение отличается от ситуации на единичной окружности — см. упражнение 9 раздела 11B.

Задача 11C.20

Докажите, что если f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и g∈L2(R)g \in L^{2}(\mathbb {R}), то F(f∗g)=f^Fg\mathcal{F}(f * g) = \widehat{f} \mathcal{F} g.

?
Задача 11C.21

Докажите, что если f,g∈L2(R)f, g \in L^{2}(\mathbb {R}), то fg^=(Ff)∗(Fg)\widehat{f g} = (\mathcal{F} f) *(\mathcal{F} g).

?