Измеримые пространства и функции

Покажите, что $\mathcal{S} = \left\{ \bigcup_{n \in K}(n, n+1]: K \subseteq \mathbb {Z}\right\}$ — $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$.

Проверьте оба пункта в примере 2.28.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ (r, s]: r, s \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ (r, n]: r \in \mathbb {Q}, n \in \mathbb {Z}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ (r, r+1): r \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R}$, содержащая $\left\{ [r, \infty ): r \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ — совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Докажите, что совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно сдвигов. Точнее, докажите, что если $B \subseteq \mathbb {R}$ — борелевское множество и $t \in \mathbb {R}$, то $t+B$ — борелевское множество.

Докажите, что совокупность борелевских подмножеств $\mathbb {R}$ инвариантна относительно растяжений. Точнее, докажите, что если $B \subseteq \mathbb {R}$ — борелевское множество и $t \in \mathbb {R}$, то $t B$ (которое по определению равно $\left\{ t b: b \in B\right\}$) — борелевское множество.

Приведите пример измеримого пространства $(X, \mathcal{S})$ и функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что $\left|f\right|$ является $\mathcal{S}$-измеримой, но $f$ не является $\mathcal{S}$-измеримой.

Покажите, что множество вещественных чисел, в десятичном разложении которых цифра 5 встречается бесконечно часто, является борелевским множеством.

Пусть $\mathcal{T}$ — $\sigma$-алгебра на множестве $Y$ и $X \in \mathcal{T}$. Обозначим $\mathcal{S} = \left\{ E \in \mathcal{T}: E \subseteq X\right\}$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство, $E_{1}, \ldots , E_{n}$ — попарно непересекающиеся подмножества $X$, а $c_{1}, \ldots , c_{n}$ — попарно различные ненулевые вещественные числа. Докажите, что $c_{1} \chi_{E_{1}}+\cdots +c_{n} \chi_{E_{n}}$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией тогда и только тогда, когда $E_{1}, \ldots , E_{n} \in \mathcal{S}$.

Пусть $X$ — множество и $E_{1}, E_{2}, \ldots$ — последовательность попарно непересекающихся подмножеств $X$ такая, что $\bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k} = X$. Обозначим $\mathcal{S} = \left\{ \bigcup_{k \in K} E_{k}: K \subseteq \mathbb {N}\right\}$.

Пусть $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра на множестве $X$ и $A \subseteq X$. Обозначим

Пусть $X$ — борелевское подмножество $\mathbb {R}$, а $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, такая что $\left\{ x \in X: f\text{ не является непрерывной в точке }x\right\}$ является счётным множеством. Докажите, что $f$ — борелевски измеримая функция.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема в каждой точке $\mathbb {R}$. Докажите, что $f^{\prime }$ — борелевски измеримая функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$.

Пусть $X$ — непустое множество и $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра на $X$, состоящая из всех подмножеств $X$, которые либо счётны, либо имеют счётное дополнение в $X$. Дайте характеризацию $\mathcal{S}$-измеримых вещественнозначных функций на $X$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f, g: X \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathcal{S}$-измеримые функции. Докажите, что если $f(x) > 0$ для всех $x \in X$, то $f^{g}$ (функция, значение которой в точке $x \in X$ равно $f(x)^{g(x)}$) является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Докажите 2.52.

Пусть $B \subseteq \mathbb {R}$ и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая функция. Докажите, что $f$ непрерывна в каждой точке $B$, кроме, быть может, точек некоторого счётного подмножества $B$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая функция. Докажите, что обратная функция $f^{-1}: f(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая функция и $B \subseteq \mathbb {R}$ — борелевское множество. Докажите, что $f(B)$ — борелевское множество.

Пусть $B \subseteq \mathbb {R}$ и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая функция. Докажите, что существует последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ строго возрастающих функций из $B$ в $\mathbb {R}$ такая, что

для каждого $x \in B$.

Пусть $B \subseteq \mathbb {R}$ и $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная возрастающая функция. Докажите, что существует возрастающая функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $g(x) = f(x)$ для всех $x \in B$.

Докажите или приведите контрпример: если $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и

— функция такая, что $f^{-1}((a, \infty )) \in \mathcal{S}$ для каждого $a \in \mathbb {R}$, то $f$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Пусть $f: B \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция. Определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом:

Докажите, что $g$ — борелевски измеримая функция.

Приведите пример измеримого пространства $(X, \mathcal{S})$ и семейства $\left\{ f_{t}\right\}_{t \in \mathbb {R}}$ такого, что каждая $f_{t}$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией из $X$ в $[0,1]$, но функция $f: X \rightarrow [0,1]$, определённая как

не является $\mathcal{S}$-измеримой.

Покажите, что

для каждого $x \in \mathbb {R}$.