Интегрирование

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция такая, что $\int f d \mu < \infty$. Объясните, почему

для каждого множества $E \in \mathcal{S}$ с $\mu (E) = \infty$.

Пусть $X$ — множество, $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра на $X$, и $c \in X$. Определим меру Дирака $\delta_{c}$ на $(X, \mathcal{S})$ формулой

Докажите, что если $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ является $\mathcal{S}$-измеримой, то $\int f d \delta_{c} = f(c)$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция. Докажите, что

Приведите пример борелевски измеримой функции $f:[0,1] \rightarrow (0, \infty )$, для которой $L(f,[0,1]) = 0$.

Проверьте утверждение о том, что интегрирование по считающей мере есть суммирование (пример 3.6).

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция, а $P$ и $P^{\prime }$ — $\mathcal{S}$-разбиения множества $X$, такие что каждое множество из $P^{\prime }$ содержится в некотором множестве из $P$. Докажите, что $\mathcal{L}(f, P) \leq \mathcal{L}\left(f, P^{\prime }\right)$.

Пусть $X$ — множество, $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $X$, а $w: X \rightarrow [0, \infty ]$ — функция. Определим меру $\mu$ на $(X, \mathcal{S})$ формулой

для $E \subseteq X$. Докажите, что если $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — функция, то

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$. Приведите пример последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$ простых борелевски измеримых функций из $\mathbb {R}$ в $[0, \infty )$, для которой $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = 0$ для каждого $x \in \mathbb {R}$, но $\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \lambda = 1$.

Пусть $\mu$ — мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция. Определим $\nu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty ]$ формулой

для $A \in \mathcal{S}$. Докажите, что $\nu$ является мерой на $(X, \mathcal{S})$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных $\mathcal{S}$-измеримых функций. Определим $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ формулой $f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty } f_{k}(x)$. Докажите, что

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — $\mathcal{S}$-измеримые функции из $X$ в $\mathbb {R}$ такие, что $\sum_{k = 1}^{\infty } \int \left|f_{k}\right| d \mu < \infty$. Докажите, что существует такое $E \in \mathcal{S}$, что $\mu (X \backslash E) = 0$ и $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = 0$ для каждого $x \in E$.

Покажите, что существует борелевски измеримая функция $f: \mathbb {R} \rightarrow (0, \infty )$, для которой $\int \chi_{I} f d \lambda = \infty$ для каждого непустого открытого интервала $I \subseteq \mathbb {R}$, где $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$.

Приведите пример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости (3.11) может не выполняться, если отбросить предположение о неотрицательности функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$.

Приведите пример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости может не выполняться, если предположение о возрастающей последовательности функций заменить предположением об убывающей последовательности функций.

Пусть $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$, а $f: \mathbb {R} \rightarrow [-\infty , \infty ]$ — борелевски измеримая функция такая, что $\int f d \lambda$ определён.

Пусть $\mathcal{S}$ и $\mathcal{T}$ — $\sigma$-алгебры на множестве $X$, причём $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$. Пусть $\mu_{1}$ — мера на $(X, \mathcal{S})$, $\mu_{2}$ — мера на $(X, \mathcal{T})$, и $\mu_{1}(E) = \mu_{2}(E)$ для всех $E \in \mathcal{S}$. Докажите, что если $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ является $\mathcal{S}$-измеримой, то $\int f d \mu_{1} = \int f d \mu_{2}$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных $\mathcal{S}$-измеримых функций на $X$. Определим функцию $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ формулой $f(x) = \liminf_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x)$.

Приведите пример последовательности $x_{1}, x_{2}, \ldots$ вещественных чисел такой, что

но $\int x d \mu$ не определён, где $\mu$ — считающая мера на $\mathbb {N}$, а $x$ — функция из $\mathbb {N}$ в $\mathbb {R}$, определённая формулой $x(k) = x_{k}$.

Покажите, что если $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f: X \rightarrow [0, \infty )$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция, то

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — монотонная (то есть возрастающая или убывающая) последовательность $\mathcal{S}$-измеримых функций. Определим $f: X \rightarrow [-\infty , \infty ]$ формулой

Докажите, что если $\int \left|f_{1}\right| d \mu < \infty$, то

Анри Лебег писал следующее о своём методе интегрирования: Мне нужно уплатить некоторую сумму денег, которую я собрал в кармане. Я вынимаю из кармана купюры и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в котором они попадаются мне под руку, пока не наберу нужную сумму. Это риманов интеграл. Но я могу поступить иначе. Вынув все деньги из кармана, я раскладываю купюры и монеты по одинаковым достоинствам, а затем выплачиваю кредитору получившиеся стопки одну за другой. Это мой интеграл.

Используя утверждение 3.15, объясните, что имел в виду Лебег, и объясните, почему интегрирование функции по мере можно рассматривать как разбиение области значений функции, в отличие от интегрирования по Риману, которое опирается на разбиение области определения функции.

Приведите пример последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$ функций из $\mathbb {N}$ в $[0, \infty )$ такой, что

для каждого $m \in \mathbb {N}$, но $\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \mu = 1$, где $\mu$ — считающая мера на $\mathbb {N}$.

Приведите пример последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$ непрерывных функций из $\mathbb {R}$ в $[0,1]$ такой, что

для каждого $x \in \mathbb {R}$, но $\lim_{k \rightarrow \infty } \int f_{k} d \lambda = \infty$, где $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$.

Пусть $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$, а $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция такая, что $\int \left|f\right| d \lambda < \infty$. Определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Докажите, что $g$ равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$.

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$. Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — борелевски измеримая функция такая, что $\int \left|f\right| d \lambda < \infty$. Докажите, что

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$. Приведите пример непрерывной функции $f:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$, для которой $\lim_{t \rightarrow \infty } \int_{[0, t]} f d \lambda$ существует (в $\mathbb {R}$), но $\int_{[0, \infty )} f d \lambda$ не определён.

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$. Приведите пример непрерывной функции $f:(0,1) \rightarrow \mathbb {R}$, для которой $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{\left(\frac{1}{n}, 1\right)} f d \lambda$ существует (в $\mathbb {R}$), но $\int_{(0,1)} f d \lambda$ не определён.

Проверьте утверждение из 3.38.

Проверьте утверждение из примера 3.41.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $f \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$. Докажите, что

является счётным объединением множеств конечной $\mu$-меры.

Пусть

Докажите, что $\lim_{k \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{k} = 0$.

Приведите пример последовательности неотрицательных борелевски измеримых функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$ на $[0,1]$, для которой выполнены оба следующих условия:

• $\lim_{k \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{k} = 0$;

• $\sup_{k \geq m} f_{k}(x) = \infty$ для каждого $m \in \mathbb {N}$ и каждого $x \in [0,1]$.

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R}$.

Докажите или приведите контрпример: если $G$ — открытое подмножество $(0,1)$, то $\chi_{G}$ интегрируема по Риману на $[0,1]$.

Пусть $f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$.