Максимальная функция Харди–Литтлвуда

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $h: X \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathcal{S}$-измеримая функция. Докажите, что

для всех положительных чисел $c$ и $p$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, причём $\mu (X) = 1$ и $h \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$. Докажите, что

для всех $c > 0$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой. Пусть $h \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ и $\left\| h\right\|_{1} > 0$. Докажите, что существует не более одного числа $c \in (0, \infty )$, для которого

Покажите, что константу 3 в лемме Витали о покрытии (4.4) нельзя заменить меньшей положительной константой.

Докажите утверждение, оставленное в качестве упражнения в последнем предложении доказательства леммы Витали о покрытии (4.4).

Проверьте формулу из примера 4.7 для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции $\chi_{[0,1]}$.

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда характеристической функции множества $[0,1] \cup [2,3]$.

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции $h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$, определённой формулой

Пусть $h: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима по Лебегу. Докажите, что

является открытым подмножеством $\mathbb {R}$ для каждого $c \in \mathbb {R}$.

Докажите или приведите контрпример: если $h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$ — возрастающая функция, то $h^{*}$ — возрастающая функция.

Приведите пример борелевски измеримой функции $h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$, для которой $h^{*}(b) < \infty$ для всех $b \in \mathbb {R}$, но $\sup \left\{ h^{*}(b): b \in \mathbb {R}\right\} = \infty$.

Покажите, что $\left|\left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) = \infty \right\} \right| = 0$ для каждой $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$.

Покажите, что существует $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$, для которой $h^{*}(b) = \infty$ для каждого $b \in \mathbb {Q}$.

Пусть $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$. Докажите, что

для каждого $c > 0$.