5B

Повторные интегралы

[4/100%]
Показать
LaTeX
Задача 5B.1
?
(a)

Пусть λ\lambda обозначает меру Лебега на [0,1][0,1]. Покажите, что

∫[0,1]∫[0,1]x2−y2(x2+y2)2dλ(y)dλ(x)=π4 \int _{[0,1]} \int _{[0,1]} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d \lambda (y) d \lambda (x) = \frac{\pi }{4}

и

∫[0,1]∫[0,1]x2−y2(x2+y2)2dλ(x)dλ(y)=−π4 \int _{[0,1]} \int _{[0,1]} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d \lambda (x) d \lambda (y) = -\frac{\pi }{4}
(b)

Объясните, почему (a) не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

Задача 5B.2
?
(a)

Приведите пример дважды индексированного набора {xm,n:m,n∈N}\left\{ x_{m, n}: m, n \in \mathbb {N}\right\} вещественных чисел, такого что

∑m=1∞∑n=1∞xm,n=0 и ∑n=1∞∑m=1∞xm,n=∞ \sum _{m = 1}^{\infty } \sum _{n = 1}^{\infty } x_{m, n} = 0 \quad \text{ и } \quad \sum _{n = 1}^{\infty } \sum _{m = 1}^{\infty } x_{m, n} = \infty
(b)

Объясните, почему (a) не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

Задача 5B.3

Пусть (X,S)(X, \mathcal{S}) — измеримое пространство и f:X→[0,∞]f: X \rightarrow [0, \infty ] — функция. Пусть B\mathcal{B} обозначает σ\sigma-алгебру борелевских подмножеств (0,∞)(0, \infty ). Докажите, что Uf∈S⊗BU_{f} \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{B} тогда и только тогда, когда ff является S\mathcal{S}-измеримой функцией.

?
Задача 5B.4

Пусть (X,S)(X, \mathcal{S}) — измеримое пространство и f:X→Rf: X \rightarrow \mathbb {R} — функция. Пусть graph⁡(f)⊆X×R\operatorname {graph}(f) \subseteq X \times \mathbb {R} обозначает график функции ff:

graph⁡(f)={(x,f(x)):x∈X} \operatorname {graph}(f) = \left\{ (x, f(x)): x \in X\right\}

Пусть B\mathcal{B} обозначает σ\sigma-алгебру борелевских подмножеств R\mathbb {R}. Докажите, что graph⁡(f)∈S⊗B\operatorname {graph}(f) \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{B}, если ff является S\mathcal{S}-измеримой функцией.

?