Банк задач по математике

Задача 6A.1

Проверьте, что каждая из заявленных метрик в примере 6.2 действительно является метрикой.

?

Задача 6A.2

Докажите, что каждое конечное подмножество метрического пространства замкнуто.

?

Задача 6A.3

Докажите, что каждый замкнутый шар в метрическом пространстве замкнут.

?

Задача 6A.4

(a)(b)

Пусть $V$ — метрическое пространство.

?

(a)

Докажите, что объединение любой совокупности открытых подмножеств $V$ является открытым подмножеством $V$ .

(b)

Докажите, что пересечение любой конечной совокупности открытых подмножеств $V$ является открытым подмножеством $V$ .

Задача 6A.5

(a)(b)

Пусть $V$ — метрическое пространство.

?

(a)

Докажите, что пересечение любой совокупности замкнутых подмножеств $V$ является замкнутым подмножеством $V$ .

(b)

Докажите, что объединение любой конечной совокупности замкнутых подмножеств $V$ является замкнутым подмножеством $V$ .

Задача 6A.6

(a)(b)

?

(a)

Докажите, что если $V$ — метрическое пространство, $f \in V$ и $r > 0$ , то $\overline{B(f, r)} \subseteq \overline{B}(f, r)$ .

(b)

Приведите пример метрического пространства $V$ , точки $f \in V$ и $r > 0$ , таких что $\overline{B(f, r)} \neq \overline{B}(f, r)$ .

Задача 6A.7

Покажите, что каждая последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.

?

Задача 6A.8

Докажите 6.9.

?

Задача 6A.9

Докажите, что каждое открытое подмножество метрического пространства $V$ является объединением некоторой последовательности замкнутых подмножеств $V$ .

?

Задача 6A.10

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство и $U, W$ — подмножества $V$ , то $\overline{U} \cup \overline{W} = \overline{U \cup W}$ .

?

Задача 6A.11

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — метрическое пространство и $U, W$ — подмножества $V$ , то $\overline{U} \cap \overline{W} = \overline{U \cap W}$ .

?

Задача 6A.12

(a)(b)(c)

Пусть $\left(U, d_{U}\right),\left(V, d_{V}\right)$ и $\left(W, d_{W}\right)$ — метрические пространства. Пусть также $T: U \rightarrow V$ и $S: V \rightarrow W$ — непрерывные функции.

?

(a)

Используя определение непрерывности, покажите, что $S \circ T: U \rightarrow W$ непрерывна.

(b)

Используя эквивалентность 6.11(a) и 6.11(b), покажите, что $S \circ T: U \rightarrow W$ непрерывна.

(c)

Используя эквивалентность 6.11(a) и 6.11(c), покажите, что $S \circ T: U \rightarrow W$ непрерывна.

Задача 6A.13

Докажите те части 6.11, которые не были доказаны в тексте.

?

Задача 6A.14

Пусть последовательность Коши в метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность. Докажите, что эта последовательность Коши сходится.

?

Задача 6A.15

Проверьте, что все пять метрических пространств из примера 6.2 являются полными метрическими пространствами.

?

Задача 6A.16

Пусть $(U, d)$ — метрическое пространство. Пусть $W$ обозначает множество всех последовательностей Коши элементов $U$ .

?

(a)

Для $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)$ и $\left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right)$ из $W$ определим $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \equiv \left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right)$ , означающее, что

\lim _{k \rightarrow \infty } d\left(f_{k}, g_{k}\right) = 0

Покажите, что $\equiv$ является отношением эквивалентности на $W$ .

(b)

Пусть $V$ обозначает множество классов эквивалентности элементов $W$ по указанному выше отношению эквивалентности. Для $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \in W$ пусть $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)^{\wedge }$ обозначает класс эквивалентности $\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)$ . Определим $d_{V}: V \times V \rightarrow [0, \infty )$ как

d_{V}\left(\left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right)^{\wedge },\left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right)^{\wedge }\right) = \lim _{k \rightarrow \infty } d\left(f_{k}, g_{k}\right)

Покажите, что это определение $d_{V}$ корректно и что $d_{V}$ является метрикой на $V$ .

(c)

Покажите, что $\left(V, d_{V}\right)$ является полным метрическим пространством.

(d)

Покажите, что отображение из $U$ в $V$ , переводящее $f \in U$ в $(f, f, f, \ldots )^{\wedge }$ , сохраняет расстояния, то есть что

d(f, g) = d_{V}\left((f, f, f, \ldots )^{\wedge },(g, g, g, \ldots )^{\wedge }\right)

для всех $f, g \in U$ .

(e)

Объясните, почему из (d) следует, что каждое метрическое пространство является подмножеством некоторого полного метрического пространства.

Метрические пространства