6B

Векторные пространства

[10/0%]
LaTeX
Задача 6B.1

Покажите, что если a,b∈Ra, b \in \mathbb {R} и a+bi≠0a+b i \neq 0, то

1a+bi=aa2+b2−ba2+b2i \frac{1}{a+b i} = \frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}} i
?
Задача 6B.2

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Докажите, что

max⁡{∣Re⁡z∣,∣Im⁡z∣}≤∣z∣≤2max⁡{∣Re⁡z∣,∣Im⁡z∣} \max \left\{ \left|\operatorname {Re} z\right|,\left|\operatorname {Im} z\right|\right\} \leq \left|z\right| \leq \sqrt{2} \max \left\{ \left|\operatorname {Re} z\right|,\left|\operatorname {Im} z\right|\right\}
?
Задача 6B.3

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Докажите, что ∣Re⁡z∣+∣Im⁡z∣2≤∣z∣≤∣Re⁡z∣+∣Im⁡z∣\frac{\left|\operatorname {Re} z\right|+\left|\operatorname {Im} z\right|}{\sqrt{2}} \leq \left|z\right| \leq \left|\operatorname {Re} z\right|+\left|\operatorname {Im} z\right|.

?
Задача 6B.4

Пусть w,z∈Cw, z \in \mathbb {C}. Докажите, что ∣wz∣=∣w∣∣z∣\left|w z\right| = \left|w\right|\left|z\right| и ∣w+z∣≤∣w∣+∣z∣\left|w+z\right| \leq \left|w\right|+\left|z\right|.

?
Задача 6B.5

Пусть (X,S)(X, \mathcal{S}) — измеримое пространство и f:X→Cf: X \rightarrow \mathbb {C} — комплекснозначная функция. В условиях (b) и (c) ниже отождествим C\mathbb {C} с R2\mathbb {R}^{2}. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

?
(a)

ff является S\mathcal{S}-измеримой.

(b)

f−1(G)∈Sf^{-1}(G) \in \mathcal{S} для каждого открытого множества GG в R2\mathbb {R}^{2}.

(c)

f−1(B)∈Sf^{-1}(B) \in \mathcal{S} для каждого борелевского множества B∈B2B \in \mathcal{B}_{2}.

Задача 6B.6

Пусть (X,S)(X, \mathcal{S}) — измеримое пространство и f,g:X→Cf, g: X \rightarrow \mathbb {C} являются S\mathcal{S}-измеримыми. Докажите, что

?
(a)

f+gf+g, f−gf-g и fgf g являются S\mathcal{S}-измеримыми функциями;

(b)

если g(x)≠0g(x) \neq 0 для всех x∈Xx \in X, то fg\frac{f}{g} является S\mathcal{S}-измеримой функцией.

Задача 6B.7

Пусть (X,S)(X, \mathcal{S}) — измеримое пространство и f1,f2,…f_{1}, f_{2}, \ldots — последовательность S\mathcal{S}-измеримых функций из XX в C\mathbb {C}. Пусть lim⁡k→∞fk(x)\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) существует для каждого x∈Xx \in X. Определим f:X→Cf: X \rightarrow \mathbb {C} как

f(x)=lim⁡k→∞fk(x) f(x) = \lim _{k \rightarrow \infty } f_{k}(x)

Докажите, что ff является S\mathcal{S}-измеримой функцией.

?
Задача 6B.8

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой и f:X→Cf: X \rightarrow \mathbb {C} — S\mathcal{S}-измеримая функция, такая что ∫∣f∣dμ<∞\int \left|f\right| d \mu < \infty. Докажите, что если α∈C\alpha \in \mathbb {C}, то

∫αfdμ=α∫fdμ \int \alpha f d \mu = \alpha \int f d \mu
?
Задача 6B.9

Пусть VV — векторное пространство. Покажите, что пересечение любой совокупности подпространств VV является подпространством VV.

?
Задача 6B.10

Пусть VV и WW — векторные пространства. Определим V×WV \times W как

V×W={(f,g):f∈V и g∈W} V \times W = \left\{ (f, g): f \in V \text{ и } g \in W\right\}

Определим сложение и умножение на скаляр на V×WV \times W как

(f1,g1)+(f2,g2)=(f1+f2,g1+g2) и α(f,g)=(αf,αg) \left(f_{1}, g_{1}\right)+\left(f_{2}, g_{2}\right) = \left(f_{1}+f_{2}, g_{1}+g_{2}\right) \quad \text{ и } \quad \alpha (f, g) = (\alpha f, \alpha g)

Докажите, что V×WV \times W является векторным пространством с этими операциями.

?