Банк задач по математике

Задача 7B.1

Пусть $n > 1$ и $0 < p < 1$ . Докажите, что если $\left\| \cdot \right\|$ определена на $\mathbf{F}^{n}$ формулой

\left\| \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)\right\| = \left(\left|a_{1}\right|^{p}+\cdots +\left|a_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}

то $\left\| \cdot \right\|$ не является нормой на $\mathbf{F}^{n}$ .

?

Задача 7B.2

(a)(b)

?

(a)

Пусть $1 \leq p < \infty$ . Докажите, что существует счётное подмножество пространства $\ell^{p}$ , замыкание которого равно $\ell^{p}$ .

(b)

Докажите, что не существует счётного подмножества пространства $\ell^{\infty }$ , замыкание которого равно $\ell^{\infty }$ .

Задача 7B.3

(a)(b)

?

(a)

Пусть $1 \leq p < \infty$ . Докажите, что существует счётное подмножество пространства $L^{p}(\mathbb {R})$ , замыкание которого равно $L^{p}(\mathbb {R})$ .

(b)

Докажите, что не существует счётного подмножества пространства $L^{\infty }(\mathbb {R})$ , замыкание которого равно $L^{\infty }(\mathbb {R})$ .

Задача 7B.4

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — $\sigma$ -конечное пространство с мерой и $1 \leq p \leq \infty$ . Докажите, что если $f: X \rightarrow \mathbf{F}$ — $\mathcal{S}$ -измеримая функция такая, что $\overline{f h} \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ для каждой $h \in \mathcal{L}^{p^{\prime }}(\mu )$ , то $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$ .

?

Задача 7B.5

(a)(b)(c)

?

(a)

Докажите, что если $\mu$ — мера, $1 < p < \infty$ , и $f, g \in L^{p}(\mu )$ таковы, что

\left\| f\right\| _{p} = \left\| g\right\| _{p} = \left\| \frac{f+g}{2}\right\| _{p}

то $f = g$ .

(b)

Приведите пример, показывающий, что результат пункта (a) может не выполняться при $p = 1$ .

(c)

Приведите пример, показывающий, что результат пункта (a) может не выполняться при $p = \infty$ .

Задача 7B.6

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой и $0 < p < 1$ . Покажите, что

\left\| f+g\right\| _{p}^{p} \leq \left\| f\right\| _{p}^{p}+\left\| g\right\| _{p}^{p}

для всех $\mathcal{S}$ -измеримых функций $f, g: X \rightarrow \mathbf{F}$ .

?

Задача 7B.7

Докажите, что $L^{p}(\mu )$ с операциями сложения и умножения на скаляр, определёнными в 7.16, и нормой, определённой в 7.17, является нормированным векторным пространством. Иными словами, докажите 7.18.

?

Задача 7B.8

Докажите 7.20 для случая $p = \infty$ .

?

Задача 7B.9

Докажите, что 7.20 выполняется также для $p \in (0,1)$ .

?

Задача 7B.10

Докажите, что 7.23 выполняется также для $p \in (0,1)$ .

?

Задача 7B.11

Пусть $1 \leq p \leq \infty$ . Докажите, что

A_p := \left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell ^{p}: a_{k} \neq 0 \text{ для каждого } k \in \mathbb {N}\right\}

не является открытым подмножеством $\ell^{p}$ .

?

Задача 7B.12

Покажите, что существует последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$ функций из $\mathcal{L}^{1}([0,1])$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty }\left\| f_{k}\right\|_{1} = 0$ , но

\sup \left\{ f_{k}(x): k \in \mathbb {N}\right\} = \infty

для каждого $x \in [0,1]$ .

?

Примечание.

?

Это упражнение показывает, что заключение 7.23 нельзя усилить до утверждения, что $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = f(x)$ для почти всех $x \in X$ .

Задача 7B.13

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 \leq p \leq \infty , f \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$ , и $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность в $\mathcal{L}^{p}(\mu )$ такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty }\left\| f_{k}-f\right\|_{p} = 0$ . Покажите, что если $g: X \rightarrow \mathbf{F}$ — функция такая, что $\lim_{k \rightarrow \infty } f_{k}(x) = g(x)$ для почти всех $x \in X$ , то $f(x) = g(x)$ для почти всех $x \in X$ .

?

Задача 7B.14

(a)(b)

?

(a)

Приведите пример меры $\mu$ , для которой 7.25 не выполняется при $p = 1$ .

(b)

Покажите, что если $\mu$ — $\sigma$ -конечная мера, то 7.25 выполняется при $p = 1$ .

Задача 7B.15

(a)(b)

Пусть

c_{0} = \left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell ^{\infty }: \lim _{k \rightarrow \infty } a_{k} = 0\right\}

Наделим $c_{0}$ нормой, которую оно наследует как подпространство $\ell^{\infty }$ .

?

(a)

Докажите, что $c_{0}$ — банахово пространство.

(b)

Докажите, что сопряжённое пространство к $c_{0}$ можно отождествить с $\ell^{1}$ .

Задача 7B.16

(a)(b)

Пусть $1 \leq p \leq 2$ .

?

(a)

Докажите, что если $w, z \in \mathbb {C}$ , то

\frac{\left|w+z\right|^{p}+\left|w-z\right|^{p}}{2} \leq \left|w\right|^{p}+\left|z\right|^{p} \leq \frac{\left|w+z\right|^{p}+\left|w-z\right|^{p}}{2^{p-1}}

(b)

Докажите, что если $\mu$ — мера и $f, g \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$ , то

\frac{\left\| f+g\right\| _{p}^{p}+\left\| f-g\right\| _{p}^{p}}{2} \leq \left\| f\right\| _{p}^{p}+\left\| g\right\| _{p}^{p} \leq \frac{\left\| f+g\right\| _{p}^{p}+\left\| f-g\right\| _{p}^{p}}{2^{p-1}}

Задача 7B.17

(a)(b)

Пусть $2 \leq p < \infty$ .

?

(a)

Докажите, что если $w, z \in \mathbb {C}$ , то

\frac{\left|w+z\right|^{p}+\left|w-z\right|^{p}}{2^{p-1}} \leq \left|w\right|^{p}+\left|z\right|^{p} \leq \frac{\left|w+z\right|^{p}+\left|w-z\right|^{p}}{2}

(b)

Докажите, что если $\mu$ — мера и $f, g \in \mathcal{L}^{p}(\mu )$ , то

\frac{\left\| f+g\right\| _{p}^{p}+\left\| f-g\right\| _{p}^{p}}{2^{p-1}} \leq \left\| f\right\| _{p}^{p}+\left\| g\right\| _{p}^{p} \leq \frac{\left\| f+g\right\| _{p}^{p}+\left\| f-g\right\| _{p}^{p}}{2}

Примечание.

?

Неравенства из двух предыдущих упражнений называются неравенствами Кларксона. Они были открыты Джеймсом Кларксоном в 1936 году.

Задача 7B.18

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 \leq p, q \leq \infty$ , и $h: X \rightarrow \mathbf{F}$ — $\mathcal{S}$ -измеримая функция такая, что $h f \in L^{q}(\mu )$ для каждой $f \in L^{p}(\mu )$ . Докажите, что отображение $f \mapsto h f$ является непрерывным линейным отображением из $L^{p}(\mu )$ в $L^{q}(\mu )$ .

?

Задача 7B.19

Докажите, что если $1 < p < \infty$ , то $\ell^{p}$ рефлексивно.

?

Задача 7B.20

Докажите, что $\ell^{1}$ не рефлексивно.

?

Задача 7B.21

Покажите, что при естественных отождествлениях каноническая изометрия $c_{0}$ в его второе сопряжённое пространство является отображением включения $c_{0}$ в $\ell^{\infty }$ (определение $c_{0}$ и отождествление его сопряжённого пространства см. в упражнении 15).

?

Задача 7B.22

Пусть $1 \leq p < \infty$ и $V, W$ — банаховы пространства. Покажите, что $V \times W$ — банахово пространство, если норма на $V \times W$ определена как

\left\| (f, g)\right\| = \left(\left\| f\right\| ^{p}+\left\| g\right\| ^{p}\right)^{1 / p}

для $f \in V$ и $g \in W$ .

?

Lp(μ)L^p(\mu)Lp(μ)

$L^p(\mu)$