Банк задач по математике

Задача 8A.1

Пусть $V$ обозначает векторное пространство ограниченных непрерывных функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbf{F}$ . Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — список рациональных чисел. Для $f, g \in V$ определим

\left\langle f, g \right\rangle = \sum _{k = 1}^{\infty } \frac{f\left(r_{k}\right) \overline{g\left(r_{k}\right)}}{2^{k}}

Покажите, что $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ является скалярным произведением на $V$ .

?

Задача 8A.2

Докажите, что если $\mu$ — мера и $f, g \in L^{2}(\mu )$ , то

\left\| f\right\| ^{2}\left\| g\right\| ^{2}-\left|\left\langle f, g \right\rangle \right|^{2} = \frac{1}{2} \iint \left|f(x) g(y)-g(x) f(y)\right|^{2} d \mu (y) d \mu (x)

?

Задача 8A.3

(a)(b)

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением и

\left\| f+g\right\| ^{2} = \left\| f\right\| ^{2}+\left\| g\right\| ^{2}

?

(a)

Докажите, что если $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ , то $f$ и $g$ ортогональны.

(b)

Приведите пример, показывающий, что если $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ , то $f$ и $g$ могут удовлетворять приведённому выше равенству, не будучи ортогональными.

Задача 8A.4

Найдите $a, b \in \mathbb {R}^{3}$ такие, что $a$ является скалярным кратным $(1,6,3)$ , $b$ ортогонален $(1,6,3)$ , и $(5,4,-2) = a+b$ .

?

Задача 8A.5

Докажите, что

16 \leq (a+b+c+d)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)

для всех положительных чисел $a, b, c, d$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b = c = d$ .

?

Задача 8A.6

Докажите, что квадрат среднего значения любого конечного списка вещественных чисел, содержащего хотя бы два различных числа, меньше среднего значения квадратов чисел этого списка.

?

Задача 8A.7

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением, причём $\left\| f\right\| \leq 1$ и $\left\| g\right\| \leq 1$ . Докажите, что

\sqrt{1-\left\| f\right\| ^{2}} \sqrt{1-\left\| g\right\| ^{2}} \leq 1-\left|\left\langle f, g \right\rangle \right|.

?

Задача 8A.8

Пусть $a$ и $b$ — ненулевые элементы $\mathbb {R}^{2}$ . Докажите, что

\left\langle a, b \right\rangle = \left\| a\right\| \left\| b\right\| \cos \theta

где $\theta$ — угол между $a$ и $b$ (рассматривая $a$ как вектор с началом в начале координат и концом в точке $a$ , и аналогично для $b$ ).

Указание: постройте треугольник, образованный $a$ , $b$ и $a-b$ ; затем воспользуйтесь теоремой косинусов.

?

Задача 8A.9

Угол между двумя векторами (рассматриваемыми как стрелки с началом в начале координат) в $\mathbb {R}^{2}$ или $\mathbb {R}^{3}$ можно определить геометрически. Однако в $\mathbb {R}^{n}$ при $n > 3$ геометрия не столь наглядна. Поэтому угол между двумя ненулевыми векторами $a, b \in \mathbb {R}^{n}$ определяется как

\arccos \frac{\left\langle a, b \right\rangle }{\left\| a\right\| \left\| b\right\| },

где мотивировка этого определения исходит из предыдущего упражнения. Объясните, почему неравенство Коши–Шварца необходимо для того, чтобы показать корректность этого определения.

?

Задача 8A.10

(a)(b)

?

(a)

Пусть $f$ и $g$ — элементы вещественного пространства со скалярным произведением. Докажите, что $f$ и $g$ имеют одинаковую норму тогда и только тогда, когда $f+g$ ортогонален $f-g$ .

(b)

Используя пункт (a), покажите, что диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда параллелограмм является ромбом.

Задача 8A.11

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что $\left\| f\right\| = \left\| g\right\|$ тогда и только тогда, когда $\left\| sf + tg\right\| = \left\| t f+s g\right\|$ для всех $s, t \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 8A.12

Пусть $f$ и $g$ — элементы пространства со скалярным произведением, причём $\left\| f\right\| = \left\| g\right\| = 1$ и $\left\langle f, g \right\rangle = 1$ . Докажите, что $f = g$ .

?

Задача 8A.13

Пусть $f$ и $g$ — элементы вещественного пространства со скалярным произведением. Докажите, что

\left\langle f, g \right\rangle = \frac{\left\| f+g\right\| ^{2}-\left\| f-g\right\| ^{2}}{4}

?

Задача 8A.14

Пусть $f$ и $g$ — элементы комплексного пространства со скалярным произведением. Докажите, что

\left\langle f, g \right\rangle = \frac{\left\| f+g\right\| ^{2}-\left\| f-g\right\| ^{2}+\left\| f+i g\right\| ^{2} i-\left\| f-i g\right\| ^{2} i}{4}

?

Задача 8A.15

Пусть $f, g, h$ — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что

\left\| h-\frac{1}{2}(f+g)\right\| ^{2} = \frac{\left\| h-f\right\| ^{2}+\left\| h-g\right\| ^{2}}{2}-\frac{\left\| f-g\right\| ^{2}}{4}

?

Задача 8A.16

Докажите, что норма, удовлетворяющая равенству параллелограмма, порождается некоторым скалярным произведением. Иными словами, покажите, что если $V$ — нормированное векторное пространство, норма $\left\| \cdot \right\|$ которого удовлетворяет равенству параллелограмма, то на $V$ существует скалярное произведение $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ такое, что $\left\| f\right\| = \left\langle f, f \right\rangle^{1 / 2}$ для всех $f \in V$ .

?

Задача 8A.17

(a)(b)

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $[1, \infty )$ .

?

(a)

Докажите, что если $f:[1, \infty ) \rightarrow [0, \infty )$ борелевски измерима, то

\left(\int _{1}^{\infty } f(x) d \lambda (x)\right)^{2} \leq \int _{1}^{\infty } x^{2}(f(x))^{2} d \lambda (x)

(b)

Опишите множество борелевски измеримых функций $f:[1, \infty ) \rightarrow [0, \infty )$ , для которых неравенство из пункта (a) обращается в равенство.

Задача 8A.18

(a)(b)

Пусть $\mu$ — мера. Для $f, g \in L^{2}(\mu )$ определим $\left\langle f, g \right\rangle$ как

\left\langle f, g \right\rangle = \int f \overline{g} d \mu

?

(a)

Используя неравенство

\left|f(x) \overline{g(x)}\right| \leq \frac{1}{2}\left(\left|f(x)\right|^{2}+\left|g(x)\right|^{2}\right)

проверьте, что приведённый выше интеграл имеет смысл и отображение, сопоставляющее $f, g$ значение $\left\langle f, g \right\rangle$ , задаёт скалярное произведение на $L^{2}(\mu )$ (не используя неравенство Гёльдера).

(b)

Покажите, что из неравенства Коши–Шварца следует, что

\left\| f g\right\| _{1} \leq \left\| f\right\| _{2}\left\| g\right\| _{2}

для всех $f, g \in L^{2}(\mu )$ (снова не используя неравенство Гёльдера).

Задача 8A.19

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — пространства со скалярным произведением. Покажите, что равенство

\left\langle \left(f_{1}, \ldots , f_{m}\right), \left(g_{1}, \ldots , g_{m}\right) \right\rangle = \left\langle f_{1}, g_{1} \right\rangle +\cdots +\left\langle f_{m}, g_{m} \right\rangle

задаёт скалярное произведение на $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$ .

?

Примечание.

?

Каждое из пространств со скалярным произведением $V_{1}, \ldots , V_{m}$ может иметь своё собственное скалярное произведение, хотя для всех этих пространств используется одно и то же обозначение скалярного произведения.

Задача 8A.20

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением. Превратим $V \times V$ в пространство со скалярным произведением, как в предыдущем упражнении. Докажите, что функция, сопоставляющая упорядоченной паре $(f, g) \in V \times V$ скалярное произведение $\left\langle f, g \right\rangle \in \mathbf{F}$ , является непрерывной функцией из $V \times V$ в $\mathbf{F}$ .

?

Задача 8A.21

(a)(b)

Пусть $1 \leq p \leq \infty$ . Рассмотрим

?

(a)

$V = \ell^{p}$ .

(b)

$V = L^{p}(\mathbb {R})$ .

Покажите, что норма на $V$ порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда $p = 2$ .

Задача 8A.22

Используя скалярные произведения, докажите тождество Аполлония: в треугольнике со сторонами длины $a, b$ и $c$ пусть $d$ — длина отрезка, соединяющего середину стороны длины $c$ с противоположной вершиной. Тогда

a^{2}+b^{2} = \frac{1}{2} c^{2}+2 d^{2}

?

Пространства со скалярным произведением