8B

Ортогональность

[26/23%]
Показать
LaTeX
Задача 8B.1

Покажите, что каждое из пространств со скалярным произведением из примера 8.23 не является гильбертовым пространством.

?
Задача 8B.2

Докажите или опровергните: пространство со скалярным произведением из упражнения 1 раздела 8A является гильбертовым пространством.

?
Задача 8B.3

Пусть V1,V2,…V_{1}, V_{2}, \ldots — гильбертовы пространства. Пусть

V={(f1,f2,…)∈V1×V2×⋯:∑k=1∞∥fk∥2<∞}. V = \left\{ \left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right) \in V_{1} \times V_{2} \times \cdots : \sum _{k = 1}^{\infty }\left\| f_{k}\right\| ^{2} < \infty \right\} .

Покажите, что равенство

⟨(f1,f2,…),(g1,g2,…)⟩=∑k=1∞⟨fk,gk⟩ \left\langle \left(f_{1}, f_{2}, \ldots \right), \left(g_{1}, g_{2}, \ldots \right) \right\rangle = \sum _{k = 1}^{\infty }\left\langle f_{k}, g_{k} \right\rangle

задаёт скалярное произведение на VV, превращающее VV в гильбертово пространство.

?
Примечание.
?

Каждое из гильбертовых пространств V1,V2,…V_{1}, V_{2}, \ldots может иметь своё собственное скалярное произведение, хотя для нормы и скалярного произведения во всех этих гильбертовых пространствах используется одно и то же обозначение.

Задача 8B.4

Пусть VV — вещественное гильбертово пространство. Комплексификацией VV называется комплексное векторное пространство VCV_{\mathbb {C}}, определённое как VC=V×VV_{\mathbb {C}} = V \times V, где типичный элемент VCV_{\mathbb {C}} записывается как f+igf+i g вместо (f,g)(f, g). Сложение и умножение на скаляр на VCV_{\mathbb {C}} определяются равенствами

(f1+ig1)+(f2+ig2)=(f1+f2)+i(g1+g2) \left(f_{1}+i g_{1}\right)+\left(f_{2}+i g_{2}\right) = \left(f_{1}+f_{2}\right)+i\left(g_{1}+g_{2}\right)

и

(α+iβ)(f+ig)=(αf−βg)+i(αg+βf) (\alpha +i \beta )(f+i g) = (\alpha f-\beta g)+i(\alpha g+\beta f)

для f1,f2,f,g1,g2,g∈Vf_{1}, f_{2}, f, g_{1}, g_{2}, g \in V и α,β∈R\alpha , \beta \in \mathbb {R}. Покажите, что

⟨f1+ig1,f2+ig2⟩=⟨f1,f2⟩+⟨g1,g2⟩+i(⟨g1,f2⟩−⟨f1,g2⟩) \left\langle f_{1}+i g_{1}, f_{2}+i g_{2} \right\rangle = \left\langle f_{1}, f_{2} \right\rangle +\left\langle g_{1}, g_{2} \right\rangle +i\left(\left\langle g_{1}, f_{2} \right\rangle -\left\langle f_{1}, g_{2} \right\rangle \right)

задаёт скалярное произведение на VCV_{\mathbb {C}}, превращающее VCV_{\mathbb {C}} в комплексное гильбертово пространство.

?
Задача 8B.5

Докажите, что если VV — нормированное векторное пространство, f∈Vf \in V и r>0r > 0, то открытый шар B(f,r)B(f, r) с центром в точке ff и радиусом rr выпуклый.

?
Задача 8B.6
?
(a)

Пусть VV — пространство со скалярным произведением, а BB — открытый единичный шар в VV (то есть B={f∈V:∥f∥<1}B = \left\{ f \in V:\left\| f\right\| < 1\right\}). Докажите, что если UU — подмножество VV такое, что B⊆U⊆B‾B \subseteq U \subseteq \overline{B}, то UU выпукло.

(b)

Приведите пример, показывающий, что результат из пункта (a) может не выполняться, если фразу пространство со скалярным произведением заменить на банахово пространство.

Задача 8B.7

Пусть VV — нормированное векторное пространство, а UU — замкнутое подмножество VV. Докажите, что UU выпукло тогда и только тогда, когда

f+g2∈U для всех f,g∈U \frac{f+g}{2} \in U \text{ для всех } f, g \in U
?
Задача 8B.8

Докажите, что если UU — выпуклое подмножество нормированного векторного пространства, то U‾\overline{U} также выпукло.

?
Задача 8B.9

Докажите, что если UU — выпуклое подмножество нормированного векторного пространства, то внутренность множества UU также выпукла.

?
Примечание.
?

Внутренность множества UU — это множество {f∈U:B(f,r)⊆U для некоторого r>0}\left\{ f \in U: B(f, r) \subseteq U\text{ для некоторого }r > 0\right\}.

Задача 8B.10

Пусть VV — гильбертово пространство, UU — непустое замкнутое выпуклое подмножество VV, а g∈Ug \in U — единственный элемент UU с наименьшей нормой (получаемый при f=0f = 0 в 8.28). Докажите, что

Re⁡⟨g,h⟩≥∥g∥2 \operatorname {Re}\left\langle g, h \right\rangle \geq \left\| g\right\| ^{2}

для всех h∈Uh \in U.

?
Задача 8B.11

Пусть VV — гильбертово пространство. Замкнутым полупространством VV называется множество вида

{g∈V:Re⁡⟨g,h⟩≥c} \left\{ g \in V: \operatorname {Re}\left\langle g, h \right\rangle \geq c\right\}

для некоторых h∈Vh \in V и c∈Rc \in \mathbb {R}. Докажите, что каждое замкнутое выпуклое подмножество VV является пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств.

?
Задача 8B.12

Приведите пример непустого замкнутого подмножества UU гильбертова пространства ℓ2\ell^{2} и элемента a∈ℓ2a \in \ell^{2} таких, что не существует b∈Ub \in U с ∥a−b∥=distance⁡(a,U)\left\| a-b\right\| = \operatorname {distance}(a, U).

?
Примечание.
?

По 8.28, UU не может быть выпуклым подмножеством ℓ2\ell^{2}.

Задача 8B.13

В вещественном банаховом пространстве R2\mathbb {R}^{2} с нормой ∥(x,y)∥∞=max⁡{∣x∣,∣y∣}\left\| (x, y)\right\|_{\infty } = \max \left\{ \left|x\right|,\left|y\right|\right\} приведите пример замкнутого выпуклого множества U⊆R2U \subseteq \mathbb {R}^{2} и точки z∈R2z \in \mathbb {R}^{2} таких, что существует бесконечно много элементов w∈Uw \in U с ∥z−w∥∞=distance⁡(z,U)\left\| z-w\right\|_{\infty } = \operatorname {distance}(z, U).

?
Задача 8B.14

Пусть ff и gg — элементы пространства со скалярным произведением. Докажите, что ⟨f,g⟩=0\left\langle f, g \right\rangle = 0 тогда и только тогда, когда

∥f∥≤∥f+αg∥ \left\| f\right\| \leq \left\| f+\alpha g\right\|

для всех α∈F\alpha \in \mathbf{F}.

?
Задача 8B.15

Пусть UU — замкнутое подпространство гильбертова пространства VV и f∈Vf \in V. Докажите, что ∥PUf∥≤∥f∥\left\| P_{U} f\right\| \leq \left\| f\right\|, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда f∈Uf \in U.

?
Примечание.
?

Это упражнение просит вас доказать 8.37(d)8.37(d).

Задача 8B.16

Пусть VV — гильбертово пространство и P:V→VP: V \rightarrow V — линейное отображение такое, что P2=PP^{2} = P и ∥Pf∥≤∥f∥\left\| P f\right\| \leq \left\| f\right\| для каждого f∈Vf \in V. Докажите, что существует замкнутое подпространство UU пространства VV такое, что P=PUP = P_{U}.

?
Задача 8B.17

Пусть UU — подпространство гильбертова пространства VV. Пусть также WW — банахово пространство и S:U→WS: U \rightarrow W — ограниченный линейный оператор. Докажите, что существует ограниченный линейный оператор T:V→WT: V \rightarrow W такой, что T∣U=S\left.T\right|_{U} = S и ∥T∥=∥S∥\left\| T\right\| = \left\| S\right\|.

?
Примечание.
?

Если W=FW = \mathbf{F}, то этот результат — просто теорема Хана–Банаха (6.69) для гильбертовых пространств. Здесь результат сильнее, поскольку он допускает, чтобы WW было произвольным банаховым пространством, а не требует, чтобы W=FW = \mathbf{F}. Кроме того, доказательство в этом контексте гильбертовых пространств не требует использования леммы Цорна или аксиомы выбора.

Задача 8B.18

Пусть UU и WW — подпространства гильбертова пространства VV. Докажите, что U‾=W‾\overline{U} = \overline{W} тогда и только тогда, когда U⊥=W⊥U^{\perp } = W^{\perp }.

?
Задача 8B.19

Пусть UU и WW — замкнутые подпространства гильбертова пространства. Докажите, что PUPW=0P_{U} P_{W} = 0 тогда и только тогда, когда ⟨f,g⟩=0\left\langle f, g \right\rangle = 0 для всех f∈Uf \in U и всех g∈Wg \in W.

?
Задача 8B.20

Проверьте утверждения из примера 8.46.

?
Задача 8B.21

Покажите, что каждое пространство со скалярным произведением является подпространством некоторого гильбертова пространства. Указание: см. упражнение 13 раздела 6C.

?
Задача 8B.22

Докажите, что если VV — гильбертово пространство и T:V→VT: V \rightarrow V — ограниченный линейный оператор, размерность образа которого равна 11, то существуют g,h∈Vg, h \in V такие, что

Tf=⟨f,g⟩h T f = \left\langle f, g \right\rangle h

для всех f∈Vf \in V.

?
Задача 8B.23
?
(a)

Приведите пример банахова пространства VV и ограниченного линейного функционала φ\varphi на VV таких, что ∣φ(f)∣<∥φ∥∥f∥\left|\varphi (f)\right| < \left\| \varphi \right\| \left\| f\right\| для всех f∈V\{0}f \in V \backslash \left\{ 0\right\}.

(b)

Покажите, что не существует примера из пункта (a), в котором VV является гильбертовым пространством.

Задача 8B.24
?
(a)

Пусть φ\varphi и ψ\psi — ограниченные линейные функционалы на гильбертовом пространстве VV такие, что ∥φ+ψ∥=∥φ∥+∥ψ∥\left\| \varphi +\psi \right\| = \left\| \varphi \right\| +\left\| \psi \right\|. Докажите, что один из функционалов φ,ψ\varphi , \psi является скалярным кратным другого.

(b)

Приведите пример, показывающий, что утверждение пункта (a) может не выполняться, если предположение о том, что VV — гильбертово пространство, заменить предположением, что VV — банахово пространство.

Задача 8B.25
?
(a)

Пусть μ\mu — конечная мера, 1≤p≤21 \leq p \leq 2, а φ\varphi — ограниченный линейный функционал на Lp(μ)L^{p}(\mu ). Докажите, что существует h∈Lp′(μ)h \in L^{p^{\prime }}(\mu ) такой, что φ(f)=∫fhdμ\varphi (f) = \int f h d \mu для каждого f∈Lp(μ)f \in L^{p}(\mu ).

(b)

То же, что и в пункте (a), но с заменой предположения о том, что μ\mu — конечная мера, предположением, что μ\mu — мера, и при условии 1<p≤21 < p \leq 2.

Примечание.
?

См. 7.25, которое вместе с этим упражнением показывает, что сопряжённое пространство к Lp(μ)L^{p}(\mu ) можно отождествить с Lp′(μ)L^{p^{\prime }}(\mu ) при 1<p≤21 < p \leq 2. См. 9.42 о распространении этого результата на все p∈(1,∞)p \in (1, \infty ).

Задача 8B.26

Докажите, что если VV — бесконечномерное гильбертово пространство, то банахово пространство B(V,V)\mathcal{B}(V, V) не сепарабельно.

?