Ортонормированные базисы

Проверьте, что семейство $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$, определённое в третьем пункте примера 8.51, является ортонормированным семейством в $L^{2}((-\pi , \pi ])$. Помочь должны следующие формулы:

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство в $\mathbb {R}$ и $a_{k} \geq 0$ для каждого $k \in \Gamma$. Докажите, что неупорядоченная сумма $\sum_{k \in \Gamma } a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда

Кроме того, докажите, что если $\sum_{k \in \Gamma } a_{k}$ сходится, то она равна указанному выше супремуму.

Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированное семейство в пространстве со скалярным произведением $V$. Докажите, что если $f \in V$, то множество $\left\{ k \in \Gamma :\left\langle f, e_{k} \right\rangle \neq 0\right\}$ счётно.

Пусть $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ и $\left\{ g_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейства в нормированном векторном пространстве такие, что суммы $\sum_{k \in \Gamma } f_{k}$ и $\sum_{k \in \Gamma } g_{k}$ сходятся. Докажите, что $\sum_{k \in \Gamma }\left(f_{k}+g_{k}\right)$ сходится и

Пусть $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство в нормированном векторном пространстве такое, что $\sum_{k \in \Gamma } f_{k}$ сходится. Докажите, что если $c \in \mathbf{F}$, то $\sum_{k \in \Gamma }\left(c f_{k}\right)$ сходится и

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — семейство в $\mathbb {R}$. Докажите, что неупорядоченная сумма $\sum_{k \in \Gamma } a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда $\sum_{k \in \Gamma }\left|a_{k}\right| < \infty$.

Пусть $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — семейство в нормированном векторном пространстве $V$ и $f \in V$. Докажите, что неупорядоченная сумма $\sum_{k \in \mathbb {N}} f_{k}$ равна $f$ тогда и только тогда, когда обычная упорядоченная сумма $\sum_{k = 1}^{\infty } f_{p(k)}$ равна $f$ для каждой инъективной и сюръективной функции $p: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$.

Объясните, почему из 8.58 следует, что если $\Gamma$ — конечное множество и $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве $V$, то $\operatorname {span}\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — замкнутое подпространство $V$.

Пусть $V$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Докажите, что не существует базиса $V$, являющегося ортонормированным семейством.

Пусть $\mu$ — $\sigma$-конечная мера на $(X, \mathcal{S})$, а $v$ — $\sigma$-конечная мера на $(Y, \mathcal{T})$. Пусть также $\left\{ e_{j}\right\}_{j \in \Omega }$ — ортонормированный базис $L^{2}(\mu )$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированный базис $L^{2}(v)$ для некоторого счётного множества $\Gamma$. Для $j \in \Omega$ и $k \in \Gamma$ определим $g_{j, k}: X \times Y \rightarrow \mathbf{F}$ равенством

Докажите, что $\left\{ g_{j, k}\right\}_{j \in \Omega , k \in \Gamma }$ — ортонормированный базис $L^{2}(\mu \times v)$.

Докажите обратное к равенству Парсеваля. Точнее, докажите, что если $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве $V$ и

для каждого $f \in V$, то $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ — ортонормированный базис $V$.

Докажите, что каждое подпространство сепарабельного нормированного векторного пространства сепарабельно.

Пусть $V$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Докажите, что не существует трансляционно-инвариантной меры на борелевских подмножествах $V$, которая придаёт положительную, но конечную меру каждому открытому шару в $V$.

Найдите многочлен $g$ степени не выше $4$, минимизирующий $\int_{0}^{1}\left|x^{5}-g(x)\right|^{2} d x$.

Докажите, что каждое ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве можно продолжить до ортонормированного базиса этого гильбертова пространства. Точнее, пусть $\left\{ e_{j}\right\}_{j \in \Omega }$ — ортонормированное семейство в гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что существует множество $\Gamma$, содержащее $\Omega$, и ортонормированный базис $\left\{ f_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ пространства $V$ такие, что $f_{j} = e_{j}$ для каждого $j \in \Omega$.

Докажите, что каждое векторное пространство обладает базисом.

Найдите многочлен $g$ степени не выше 4 такой, что

для каждого многочлена $f$ степени не выше 4.

Пусть $G$ — непустое открытое подмножество C. Пространством Бергмана $L_{a}^{2}(G)$ называется множество аналитических функций $f: G \rightarrow \mathbb {C}$ таких, что

где $\lambda_{2}$ — обычная мера Лебега на $\mathbb {R}^{2}$, отождествляемом с $\mathbb {C}$. Для $f, h \in L_{a}^{2}(G)$ определим $\left\langle f, h \right\rangle$ как $\int_{G} f \overline{h} d \lambda_{2}$.

Пусть $\mathbf{D}$ обозначает открытый единичный круг в $\mathbb {C}$; таким образом

Пусть $G$ — кольцо, определённое как

Докажите, что если $f \in L_{a}^{2}(\mathbf{D} \backslash \left\{ 0\right\} )$, то $f$ имеет устранимую особенность в точке 0 (то есть $f$ можно продолжить до функции, аналитической на $\mathbf{D}$).

Пространством Дирихле $\mathcal{D}$ называется множество аналитических функций $f: \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {C}$ таких, что

Для $f, g \in \mathcal{D}$ определим $\left\langle f, g \right\rangle$ как $f(0) \overline{g(0)}+\int_{\mathbf{D}} f^{\prime } \overline{g^{\prime }} d \lambda_{2}$.