Вещественные и комплексные меры

Докажите или приведите контрпример: если $\nu$ — вещественная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$ и $A, B \in \mathcal{S}$ таковы, что $\nu (A) \geq 0$ и $\nu (B) \geq 0$, то $\nu (A \cup B) \geq 0$.

Пусть $\nu$ — вещественная мера на $(X, \mathcal{S})$. Определим $\mu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty )$ формулой

Докажите, что $\mu$ является (положительной) мерой на $(X, \mathcal{S})$ тогда и только тогда, когда область значений $\nu$ содержится в $[0, \infty )$ или область значений $\nu$ содержится в $(-\infty , 0]$.

Пусть $\nu$ — комплексная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что $\left|\nu \right|(X) = \nu (X)$ тогда и только тогда, когда $\nu$ является (положительной) мерой.

Пусть $\nu$ — комплексная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что если $E \in \mathcal{S}$, то

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $h$ — неотрицательная функция из $\mathcal{L}^{1}(\mu )$. Пусть $\nu$ — (положительная) мера на $(X, \mathcal{S})$, определённая как $d \nu = h d \mu$. Докажите, что

для всех $S$-измеримых функций $f: X \rightarrow [0, \infty ]$.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с (положительной) мерой. Докажите, что

является замкнутым подпространством $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$.

Пусть $t > 0$, а $\lambda$ — мера Лебега на $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств $[0, t]$. Пусть $h:[0, t] \rightarrow \mathbb {C}$ — функция, определённая как

Пусть $\nu$ — комплексная мера, определённая как $d \nu = h d \lambda$.

Приведите пример, показывающий, что утверждение 9.9 может не выполняться, если предположение о том, что $\nu$ — вещественная мера, заменить предположением о том, что $\nu$ — комплексная мера.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство с $\mathcal{S} \neq \left\{ \varnothing , X\right\}$. Докажите, что норма полной вариации на $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$ не порождается скалярным произведением. Иными словами, покажите, что не существует скалярного произведения $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ на $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$, такого что $\left\| \nu \right\|_{\mathbf{F}} = \left\langle \nu , \nu \right\rangle^{1 / 2}$ для всех $\nu \in \mathcal{M}(\mathcal{S})$, где $\left\| \cdot \right\|_{\mathbf{F}}$ — обычная норма полной вариации на $\mathcal{M}(\mathcal{S})$.

Для измеримого пространства $(X, \mathcal{S})$ и $b \in X$ определим конечную (положительную) меру $\delta_{b}$ на $(X, \mathcal{S})$ формулой

для $E \in \mathcal{S}$.

Пусть $\nu$ — вещественная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что разложение Хана для $\nu$ почти единственно в том смысле, что если $A, B$ и $A^{\prime }, B^{\prime }$ — пары, удовлетворяющие теореме о разложении Хана (9.23), то

Пусть $\mu$ — (положительная) мера, а $g, h \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$. Докажите, что $g \; d \mu \perp h \; d \mu$ тогда и только тогда, когда $g(x) h(x) = 0$ для почти всех $x \in X$.

Пусть $\nu$ и $\mu$ — комплексные меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Покажите, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $\nu$ и $\mu$ — комплексные меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что если $\nu \perp \mu$, то $\left|\nu +\mu \right| = \left|\nu \right|+\left|\mu \right|$ и $\left\| \nu +\mu \right\| = \left\| \nu \right\| +\left\| \mu \right\|$.

Пусть $\nu$ и $\mu$ — конечные (положительные) меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что $\nu \perp \mu$ тогда и только тогда, когда $\left\| \nu -\mu \right\| = \left\| \nu \right\| +\left\| \mu \right\|$.

Пусть $\mu$ — комплексная или положительная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что

является замкнутым подпространством $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$.

Используя канторово множество, докажите, что существует (положительная) мера $\nu$ на $(\mathbb {R}, \mathcal{B})$, такая что $\nu \perp \lambda$ и $\nu (\mathbb {R}) \neq 0$, но $\nu (\left\{ x\right\} ) = 0$ для каждого $x \in \mathbb {R}$; здесь $\lambda$ обозначает меру Лебега на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}$ борелевских подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $\nu$ — вещественная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что

и

для всех $E \in \mathcal{S}$.

Пусть $\mu$ — (положительная) конечная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $h$ — неотрицательная функция из $\mathcal{L}^{1}(\mu )$. Тогда $h \; d \mu \ll d \mu$. Найдите разумное условие на $h$, эквивалентное условию $d \mu \ll h \; d \mu$.

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $\nu$ — комплексная мера на $(X, \mathcal{S})$. Покажите, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $\nu$ — вещественная мера на $(X, \mathcal{S})$. Покажите, что $\nu \ll \mu$ тогда и только тогда, когда $\nu^{+} \ll \mu$ и $\nu^{-} \ll \mu$.

Пусть $\mu$ — (положительная) мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что

является замкнутым подпространством $\mathcal{M}_{\mathrm{F}}(\mathcal{S})$.

Приведите пример, показывающий, что теорема Радона–Никодима (9.36) может не выполняться, если убрать предположение о $\sigma$-конечности.

Пусть $\mu$ — (положительная) $\sigma$-конечная мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$, а $\nu$ — комплексная мера на $(X, \mathcal{S})$. Покажите, что следующие условия эквивалентны:

Докажите утверждение 9.42 [с дополнительным предположением, что $\mu$ — $\sigma$-конечная (положительная) мера] в случае $p = 1$.

Объясните, в каком месте доказательство 9.42 перестаёт работать при $p = \infty$.

Докажите, что если $\mu$ — (положительная) мера и $1 < p < \infty$, то $L^{p}(\mu )$ рефлексивно.

Докажите, что $L^{1}(\mathbb {R})$ не рефлексивно.