Полные и минимальные системы векторов

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что оно сепарабельно тогда и только тогда, когда в $X$ существует счётная полная система.

Доказать, что в любом бесконечномерном банаховом пространстве существует линейно независимая система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ (т. е. ни один из векторов системы не является конечной линейной комбинацией остальных), не являющаяся минимальной.

Доказать, что система $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ векторов нормированного пространства $X$ полна тогда и только тогда, когда она тотальна.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — система векторов нормированного пространства $X$. Доказать, что она минимальна тогда и только тогда, когда для неё найдётся биортогональная система функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$. Доказать, что эти функционалы также образуют минимальную систему в пространстве $X^{*}$.

Привести пример банахова пространства $X$ и минимальной системы $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty } \subset X^{*}$, для которой не существует биортогональной системы $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$. Доказать, что в рефлексивном пространстве такой пример невозможен.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что для любой конечной линейно независимой системы функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X^{*}$ существует биортогональная ей система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X$ (ср. с задачей 5.4). Доказать, что для любой конечной линейно независимой системы векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X$ существует биортогональная ей система функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X^{*}$.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — полная минимальная система векторов нормированного пространства $X$. Доказать, что биортогональная система $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ (она существует согласно задаче 10.4) единственна. Доказать, что в случае рефлексивного пространства $X$ система $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ полна в $X^{*}$ (согласно задаче 10.4 она минимальна).

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, оператор $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\overline{\operatorname {Im} T} = Y$. Доказать, что полнота системы $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $X$ влечёт полноту системы $\left\{ T x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $Y$.

Пусть система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна в нормированном пространстве $X$ и каждый вектор $x_{k}$ есть конечная линейная комбинация векторов системы $\left\{ y_{k}\right\}_{1}^{\infty }$. Доказать, что система $\left\{ y_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ тоже полна.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\inf_{\left\| x\right\| = 1}\left\| T x\right\| = c > 0$. Доказать, что минимальность системы $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $X$ влечёт минимальность системы $\left\{ T x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $Y$.

Привести пример банахова пространства $X$, инъективного оператора $T \in \mathcal{B}(X)$ и такой минимальной системы $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty } \subset X$, что система $\left\{ T x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ не является минимальной.

Исследовать систему $\left\{ e_{n} = \left(0,0, \ldots , 0, \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)\right\}_{1}^{\infty }$ на полноту и минимальность в пространствах

Для всякого $\lambda$ с $\left|\lambda \right| < 1$ исследовать систему векторов

на полноту и минимальность в пространствах

Исследовать систему векторов $\left\{ x_{n} = \left(1, \ldots , \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)\right\}_{1}^{\infty }$ на полноту и минимальность в пространствах

Исследовать следующие системы векторов на полноту и минимальность в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$, и $C[0,1]$:

Пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — строго возрастающая последовательность положительных чисел со свойством $\alpha_{n} \rightarrow 1$. Доказать, что система $\left\{ t^{\alpha_{n}}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ полна

(Х. Мюнц, 1914). Система степеней $\left\{ t^{n_{k}}\right\}_{k = 0}^{\infty }$, где $n_{0} < n_{1} < \ldots$, полна в пространстве $C[0,1]$ тогда и только тогда, когда $n_{0} = 0$ и $\sum_{k = 1}^{\infty } \frac{1}{n_{k}} = \infty$.

В пространстве $C[0,1]$ привести пример такой неполной системы векторов $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, что для любой непрерывной функции $x \in C[0,1]$ из равенств $\int_{0}^{1} x(t) x_{n}(t) d t = 0, n = 1,2, \ldots$, следует $x = 0$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а система $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ слабо полна в нём, т. е. для любого вектора $x \in X$ существует последовательность $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty } \subset \operatorname {Lin}\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, слабо сходящаяся к $x$. Доказать, что тогда система $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ полна в $X$ в обычном смысле.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — полная и минимальная система в гильбертовом пространстве $H$, а $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная ей система. Доказать, что если $\left\| x_{n}\right\| = \left\| y_{n}\right\| = 1$ для всех $n \in \mathbb {N}$, то $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H$.