Базисы в гильбертовых пространствах

Доказать, что любая ортонормированная система векторов гильбертова пространства равномерно минимальна.

Доказать теорему 10.2.

Пусть система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ образует базис Рисса в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что биортогональная ей система также является базисом Рисса.

Доказать, что система $\left\{ \sin^{2}(n t)\right\}_{1}^{\infty }$ не образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin^{2}(n t)\right\}_{1}^{\infty } \cup \left\{ 1\right\}$ образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin (2 n t), t \cos (2 n t)\right\}_{0}^{\infty }$ образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$.

(М. И. Кадец, 1964). Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность вещественных чисел со свойством $\left|\lambda_{n}-n\right| < 1 / 4$ для любого $n \in \mathbb {Z}$. Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является базисом Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$.

(К. И. Бабенко, 1948). Доказать, что система $\left\{ |t|^{\alpha } e^{i \pi n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ является базисом Шаудера, но не является базисом Рисса в пространстве $L_{2}[-1,1]$, если $\left|\alpha \right| < 1 / 2, \alpha \neq 0$.

Доказать, что система многочленов Чебышёва $T_{n}(t) = \cos (n \arccos t), n = 0,1, \ldots$, не образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[-1,1]$.

Пусть $p(t) \geqslant 0$ — суммируемая на отрезке $[0,1]$ функция. В гильбертовом пространстве $L_{2}([0,1], p(t) d t)$ рассмотрим произвольный ортогональный базис $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$. Доказать, что эта система образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0,1]$ (с обычной мерой Лебега) тогда и только тогда, когда ess sup $p(t) < \infty$ и ess inf $p(t) > 0$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Рисса в пространстве $L_{2}\left(M_{1}, \mu_{1}\right)$, $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Рисса в пространстве $L_{2}\left(M_{2}, \mu_{2}\right)$. Доказать, что система $\left\{ x_{n} \cdot y_{m}\right\}_{m, n = 1}^{\infty }$ образует базис Рисса в $L_{2}\left(M_{1} \times M_{2}, \mu_{1} \times \mu_{2}\right)$ (ср. с задачей 3.66).

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$. Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — система векторов в $H$, для которой $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}-e_{n}\right\|^{2} < 1$. Доказать, что система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса.