Слабая топология в нормированном пространстве

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что слабая топология $w$ в $X$ порождается некоторым набором полунорм (т. е. $(X, w)$ — полинормированное пространство).

Доказать, что последовательность векторов нормированного пространства слабо сходится тогда и только тогда, когда она сходится в слабой топологии.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве слабая топология совпадает с топологией нормы.

Доказать, что в бесконечномерном нормированном пространстве любая окрестность нуля в слабой топологии содержит бесконечномерное подпространство.

Доказать, что в произвольном бесконечномерном нормированном пространстве слабая топология всегда строго слабее топологии нормы (то есть всякое открытое в слабой топологии множество открыто и в топологии нормы, но не наоборот) [^fn1].

Доказать, что для любого нормированного пространства слабая топология хаусдорфова.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что любой функционал $f \in X^{*}$ непрерывен относительно слабой топологии. Доказать, что наоборот, любой линейный функционал на $X$, непрерывный в слабой топологии, лежит в $X^{*}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $U$ — выпуклое множество в нём. Доказать, что $U$ замкнуто относительно нормы тогда и только тогда, когда $U$ замкнуто в слабой топологии.

Привести пример банахова пространства $X$ и множества $A$ в нём, замкнутого относительно нормы, но не замкнутого в слабой топологии.

Доказать, что нормированное пространство сепарабельно относительно нормы тогда и только тогда, когда оно сепарабельно в слабой топологии.

Привести пример такого множества $M$ в пространстве $l_{2}$, что оно не открыто в слабой топологии, но для любой последовательности $x_{n}$, слабо сходящейся к $x \in M$, все $x_{n}$, начиная с некоторого номера лежат в $M$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что слабая топология в единичном шаре пространства $X$ метризуема.

В пространстве $l_{p}, p \in (1, \infty )$, привести пример такой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, что $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \infty$, но точка 0 лежит в замыкании множества $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ в слабой топологии.

Доказать, что для любой функции $x_{0} \in L_{1}[0,1]$ множество $\left\{ x \in L_{1}[0,1]:\left|x(t)\right| \leqslant \left|x_{0}(t)\right| \text{ для почти всех } t \in [0,1]\right\}$ слабо секвенциально компактно в $L_{1}[0,1]$.