Дополнительные операции над обобщёнными функциями

Доказать, что действие свёртки обобщённых функций $F, G \in \mathcal{D}^{\prime }$ может быть выражено через прямое произведение:

Вычислить прямое произведение обобщённых функций одной переменной:

Образуют ли прямые произведения обобщённых функций из $\mathcal{D}^{\prime }$ всюду плотное множество в $\mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$? А линейные комбинации этих произведений?

Найти прямой образ функции $\delta_{0}^{(k)} \times \delta_{0}^{(n)}$ при отображении $\gamma : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}, \gamma (x, y) = x+y$.

Найти обратный образ $\delta$-функции при отображении $\gamma : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}, \gamma (x, y) = x$.

Найти обратный образ $\delta$-функции при отображении $\gamma : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}, \gamma (x, y) = \left(x+e^{y}, y-1\right)$.

Найти прямой и обратный образы $\delta$-функции при линейном отображении $\gamma : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}, \gamma (x) = B x+v$, где матрица $B$ невырождена.

Доказать, что обратный образ $\delta$-функции при отображении $\gamma : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}, \gamma (x, y) = x y$, не существует как элемент $\mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, однако может быть определен на подпространстве $\left\{ \varphi \in \mathcal{D}\left(\mathbb {R}^{2}\right): \varphi (0,0) = 0\right\}$ следующим образом:

Иногда это действие коротко записывают формулой Дирака