Различные свойства операторов

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X_{0}$ — его замкнутое подпространство. Доказать эквивалентность следующих условий:

1. подпространство $X_{0}$ дополняемо;

2. тождественный оператор на $X_{0}$ допускает продолжение до ограниченного оператора из $X$ в $X_{0}$;

3. любой ограниченный оператор из $X_{0}$ в $Y$, где $Y$ — произвольное нормированное пространство, допускает продолжение до некоторого ограниченного оператора из $X$ в $Y$.

Доказать, что банахово пространство $X$ обладает следующим свойством: для всяких $Z \subset Y$ и для всякого линейного ограниченного оператора $A: Z \rightarrow X$ продолжение $\tilde{A}: Y \rightarrow X$ с $\left\| \tilde{A}\right\| = \left\| A\right\|$ существует тогда и только тогда, когда $X$ $1$-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве $X_{1}$ (т. е. существует линейный проектор из $X_{1}$ в $X$ единичной нормы).

Пусть $A \in \mathcal{B}\left(X_{0}, Y\right)$ — конечномерный оператор, где $X_{0}$ и $Y$ — нормированные пространства, $X_{0}$ — линейное подпространство нормированного пространства $X$. Доказать, что $A$ допускает продолжение до ограниченного оператора $\tilde{A} \in \mathcal{B}(X, Y)$, причём $\tilde{A}$ можно выбрать так, что $\operatorname {Im}(\tilde{A}) = \operatorname {Im}(A)$.

Пусть оператор $A$ определён на подпространстве $c_{0}$ пространства $c$ как тождественный оператор. Доказать, что этот оператор нельзя продолжить до ограниченного оператора $\tilde{A}$ из $c$ в $c_{0}$ без увеличения нормы. Предъявить продолжение $A$ до ограниченного оператора $\tilde{A}$ из с в $c_{0}$ с увеличением нормы.

(Р. Филлипс, 1940). Доказать, что замкнутое подпространство $c_{0}$ банахова пространства $l_{\infty }$ не дополняемо.

Пусть $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, где $X$ — рефлексивное банахово пространство, $Y$ — произвольное банахово пространство, a rank $A < \infty$. Доказать, что $A$ достигает своей нормы на единичном шаре, т. е. найдётся такой вектор $x \in X$, что $\left\| x\right\|_{X} = 1$ и $\left\| A x\right\|_{Y} = \left\| A\right\|$.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное пространство, а $Y$ — произвольное нормированное пространство. Доказать, что $\mathcal{L}(X, Y) = \mathcal{B}(X, Y)$ и каждый оператор достигает своей нормы на единичном шаре.

Привести пример ограниченного оператора в рефлексивном банаховом пространстве, не достигающего своей нормы на единичном шаре.

Привести пример неограниченного оператора $A \in \mathcal{L}(X)$ в банаховом пространстве $X$, который определён всюду на $X$ и имеет замкнутое ядро.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{L}(X, Y), \operatorname {Ker} A$ замкнуто в $X, \operatorname {arank} A < \infty$. Доказать, что оператор $A$ ограничен.

Привести пример ненулевого оператора в бесконечномерном банаховом пространстве, квадрат которого равен нулю.

Привести пример такого оператора $A \in \mathcal{B}(X)$ в бесконечномерном банаховом пространстве $X$, что $\operatorname {Ker} A \subsetneq \operatorname {Im} A$.

Пусть $X$ — банахово пространство и оператор $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что:

Для произвольного $n \in \mathbb {N}$ привести пример операторов $A$ и $B$ в бесконечномерном банаховом пространстве $X$ со свойствами

Пусть $X$ — банахово пространство и оператор $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $A$ имеет конечный подъем $n$ и конечный спуск $m$, то $n = m$ и $X = \operatorname {Ker}\left(A^{m}\right) \oplus \overline{\operatorname {Im}\left(A^{m}\right)}$.

Доказать, что если для $A, B \in \mathcal{L}(X)$ выполнено коммутационное соотношение $A B-B A = I$, то $A B^{n}-B^{n} A = n B^{n-1}$. Доказать, что либо $A$, либо $B$ неограничен. Вывести отсюда, что матричное уравнение $A B-B A = I$, где $A$ и $B$ — неизвестные матрицы размера $n \times n$, не имеет решений.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. При каких условиях на оператор $A$ выражения

Пусть $X$ — банахово пространство, $A$ — инъективный ограниченный оператор в $X$. Для норм из предыдущей задачи доказать, что $\left\| \cdot \right\|_{1} \prec \left\| \cdot \right\|_{X}$, а $\left\| \cdot \right\|_{2} \sim \left\| \cdot \right\|_{X}$. Доказать, что $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{X}$ тогда и только тогда, когда $\inf_{\left\| x\right\| = 1}\left\| A x\right\| \geqslant r > 0$.

(С. Мазур, С. Улам, 1932). Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, отображение $J$ — изометрия, т. е. для любых $x, y \in X$ выполняется $\left\| J(x)-J(y)\right\|_{Y} = \left\| x-y\right\|_{X}$ и $J(0) = 0$. Доказать, что $J$ — линейный изометрический изоморфизм нормированных пространств $X$ и $Y$.

Пусть $J$ — изометрия действительного пространства $c_{0}$ или $l_{p}, 1 \leqslant p < \infty , p \neq 2$, и $J(0) = 0$. Доказать, что найдутся такой набор знаков $\varepsilon_{n} \in \left\{ \pm 1\right\}$ и такая перестановка $\sigma$ натурального ряда, что $J\left(x_{1}, \ldots , x_{n}, \ldots \right) = \left(\varepsilon_{1} x_{\sigma (1)}, \ldots , \varepsilon_{n} x_{\sigma (n)}, \ldots \right)$.