Банк задач по математике

Задача 8.1

Доказать теорему 8.1.

?

Задача 8.2

(а)(б)

Пусть $X, Y, Z$ — нормированные пространства, $A, B \in \mathcal{B}(X, Y)$ , $C \in \mathcal{B}(Y, Z), \alpha , \beta \in \mathbb {C}$ . Доказать, что

?

(а)

$(\alpha A+\beta B)^{\prime } = \alpha A^{\prime }+\beta B^{\prime }$ ; $\quad$

(б)

$(C A)^{\prime } = A^{\prime } C^{\prime }$ .

Задача 8.3

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ и последовательность $g_{n} \stackrel{*}{\rightharpoonup } g$ в $Y^{*}$ . Доказать, что $A^{\prime } g_{n} \stackrel{*}{\rightharpoonup } A^{\prime } g$ в $X^{*}$ .

?

Задача 8.4

(а)(б)(в)(г)

Найти сопряжённые операторы в следующих случаях.

?

(а)

$X$ — произвольное нормированное пространство, $A = \lambda I, \lambda \in \mathbb {C}$ .

(б)

$X$ — конечномерное пространство над полем $\mathbb {C}$ , оператор $A$ записан матрицей $M$ в некотором линейном базисе. Пусть в пространстве $X^{*} = X$ выбран тот же базис. Найти матрицу оператора $A^{\prime }$ .

(в)

$X$ и $Y$ — банаховы пространства, $X \subset Y$ как линейное подпространство, $\left\| \cdot \right\|_{Y} \prec \left\| \cdot \right\|_{X}$ на $X, J \in \mathcal{B}(X, Y)$ — оператор вложения, т. е. $J: x \mapsto x$ ;

(г)

$X = X_{0} \oplus X_{1}$ — банахово пространство, $X_{0}, X_{1}$ — его замкнутые подпространства, $P \in \mathcal{B}(X)$ — оператор проектирования на $X_{0}$ вдоль $X_{1}$ .

Задача 8.5

(а)(б)(в)(г)

Найти сопряжённый оператор $A^{\prime }$ для оператора $A$ в пространствах $l_{p}, p \in [1, \infty )$ , и $c_{0}$ :

?

(а)

$A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$ , т. е. $A = T_{l}$ — левый сдвиг;

(б)

$A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ , т. е. $A = T_{r}$ — правый сдвиг;

(в)

$A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots \right),\left\{ \lambda_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \in l_{\infty }$ ;

(г)

$A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(x_{2}, \frac{x_{3}}{2}, \ldots , \frac{x_{n+1}}{n}, \ldots \right)$ .

Задача 8.6

Найти сопряжённый оператор $A^{\prime }$ для следующих операторов $A$ :

?

(а)

$A \in \mathcal{B}(C[0,1]),(A x)(t) = a(t) x(t), a \in C[0,1] ;$

(б)

$A \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ),(A x)(t) = a(t) x(t), a \in L_{\infty }[0,1]$ ;

(в)

$A \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ),(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$ ;

(г)

$A \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty )$ ,

(A x)(t) = \begin{cases} x(t+a), & \text{ если } t+a \leqslant 1 \\ x(t+a-1), & \text{ если } t+a > 1\end{cases}

где $a \in [0,1]$ ;

(д)

$A \in \mathcal{B}(C[0,1]),(A x)(t) = \int_{0}^{1} K(t, s) x(s) d s$ , где $K \in C\left([0,1]^{2}\right)$ ;

(е)

$A \in \mathcal{B}(C[0,2]),(A x)(t) = \begin{cases} x(t), & \text{ если } t \in [0,1], \\ x(1), & \text{ если } t \in [1,2] ;\end{cases}$

(ж)

$A \in \mathcal{B}\left(C^{1}[0,1], C[0,1]\right),(A x)(t) = x^{\prime }(t)$ ;

(з)

$A \in \mathcal{B}(C[0,1]),(A x)(t) = x(0)+t x(1)+t^{2} \int_{0}^{1} x(s) d s$ .

Задача 8.7

Найти сопряжённый оператор $A^{\prime }$ для оператора $A$ в простparcтве $C[a, b]:(A x)(t) = \sum_{i = 1}^{n} \alpha_{i}(t) f_{i}(x)$ , где $\alpha_{i} \in C[a, b]$ , $f_{i} \in (C[a, b])^{*}$ , $f_{i}(x) = \int_{a}^{b} x(t) d w_{i}(t), w_{i} \in B V_{0}[0,1]$ .

?

Задача 8.8

Пусть оператор $S$ в $c_{0}^{*} = l_{1}$ задан формулой $S:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) \mapsto \mapsto \left(\sum_{k = 1}^{\infty } x_{k}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$ . Доказать, что $S$ является линейным изоморфизмом в $l_{1}$ , но не является сопряжённым ни для какого оператора $T \in \mathcal{B}\left(c_{0}\right)$ .

?

Задача 8.9

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ . Обозначим канонические вложения $\pi_{X}: X \hookrightarrow X^{* *}, \pi_{Y}: Y \hookrightarrow Y^{* *}$ . Доказать, что $A^{\prime \prime } \circ \pi_{X} = \pi_{Y} \circ A$ .

?

Задача 8.10

(а)(б)(в)(г)

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ . Доказать, что

?

(а)

если $\overline{\operatorname {Im} A} = Y$ , то $\operatorname {Ker} A^{\prime } = \left\{ 0\right\}$ ;

(б)

если $\overline{\operatorname {Ker} A^{\prime }} = \left\{ 0\right\}$ , то $\overline{\operatorname {Im} A} = Y$ ;

(в)

если $\overline{\operatorname {Im} A^{\prime }} = X^{*}$ , то $\operatorname {Ker} A = \left\{ 0\right\}$ ;

(г)

если $X$ рефлексивно и $\operatorname {Ker} A = \left\{ 0\right\}$ , то $\overline{\operatorname {Im} A^{\prime }} = X^{*}$ . Привести пример нерефлексивного пространства $X$ и оператора $A \in \mathcal{B}(X)$ с $\operatorname {Ker} A = \left\{ 0\right\}$ и $\overline{\operatorname {Im} A^{\prime }} \neq X^{*}$ .

Задача 8.11

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ . Доказать, что $(\operatorname {Im} A)^{\perp } = \operatorname {Ker} A^{\prime }$ , а $(\operatorname {Ker} A)^{\perp } \supseteq \overline{\operatorname {Im} A^{\prime }}$ (напомним, что для произвольного множества $M \subset X$ множество $M^{\perp } = \left\{ f \in X^{*}: f(x) = 0 \text{ для всякого } x \in M\right\}$ ). Привести пример, когда последнее включение строгое.

?

Задача 8.12

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ . Доказать, что если $A$ — сюръекция, то $(\operatorname {Ker} A)^{\perp } = \operatorname {Im} A^{\prime }$ .

?

Задача 8.13

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ . Доказать, что $\left(\operatorname {Im} A^{\prime }\right)^{\perp } = \operatorname {Ker} A,\left(\operatorname {Ker} A^{\prime }\right)^{\perp } = \overline{\operatorname {Im} A}$ (здесь для множества $M \subset X^{*}$ обозначено $M^{\perp } = \left\{ x \in X: f(x) = 0\text{ для всякого }f \in M\right\}$ ).

?

Задача 8.14

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A_{n} \xrightarrow {s} A$ в $\mathcal{B}(X, Y)$ . Сходится ли последовательность $\left\{ A_{n}^{\prime }\right\}_{n = 1}^{\infty }$ сильно к $A^{\prime }$ в $\mathcal{B}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$ ? Сходится ли она слабо? Ответьте на те же вопросы при условии рефлексивности $X$ или $Y$ .

?

Сопряжённые операторы в банаховом пространстве