Векторное и смешанное произведения векторов

Найти векторное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданных своими координатами:

Упростить выражения:

Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю.

Векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ не коллинеарны. При каких значениях скаляра $\lambda$ коллинеарны векторы $\lambda \mathbf{a} + \mathbf{b}$ и $3\mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$?

Векторы $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ образуют:

Известно, что $\mathbf{a} = \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right], \mathbf{b} = \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right], \mathbf{c} = \left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right]$. Найти длины векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ и углы между ними.

Решить задачи:

На векторах $\mathbf{a}(2, 3, 1)$ и $\mathbf{b}(- 1, 1, 2)$, отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти:

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен $30^{\circ }$. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: $(1, 3), (1, 0)$ и $(- 1, 2)$. Найти площадь параллелограмма.

Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна половине длины векторного произведения $\left[\overrightarrow {AC}, \overrightarrow {BD}\right]$.

Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих этим граням, равна нулю.

Доказать, что для трех неколлинеарных векторов а, $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ равенства $\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right] = \left[\mathbf{b}, \mathbf{c}\right] = \left[\mathbf{c}, \mathbf{a}\right]$ выполняются тогда и только тогда, когда $\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{o}$.

Доказать тождества:

Даны $\alpha , \beta , \gamma$ — плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы.

Даны два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ такие, что $\mathbf{a} \neq 0, (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 0$. Выразить через $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ какой — нибудь вектор $\mathbf{x}$, удовлетворяющий уравнению $\left[\mathbf{x}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$.

Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения $\left[\mathbf{x}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$, а также его частного решения, коллинеарного вектору $\left[\mathbf{a}, \mathbf{b}\right]$.

Из одной точки отложены четыре вектора a, b, c, d. Вектор $\mathbf{d}$ имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами a, b, c:

Из одной точки отложены четыре вектора $\mathbf{a}(- 1, 1$, $- 1), \mathbf{b}(- 1, 1, 1), \mathbf{c}(5, - 1, - 1)$ и $\mathbf{d}$. Вектор $\mathbf{d}$ имеет длину 1 и образует с векторами a, b, c равные острые углы. Вычислить координаты вектора d.

Найти смешанное произведение векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$, заданных своими координатами:

Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе:

Векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ некомпланарны. При каких значениях скаляра $\lambda$ компланарны векторы $\mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \lambda \mathbf{c}, 4\mathbf{a} + 5\mathbf{b} + 6\mathbf{c}$, $7\mathbf{a} + 8\mathbf{b} + \lambda^{2} \mathbf{c}?$

Три некомпланарных вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ отложены из одной точки. Найти:

Даны точки $A(2, 1, - 1), B(3, 0, 2), C(5, 1, 1), D(0$, $- 1, 3)$, являющиеся вершинами тетраэдра. Найти:

Длины базисных векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ в пространстве равны соответственно $1, 2, \sqrt{2}$, а углы между ними равны: $\angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right) = 120^{\circ }, \angle \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}\right) = 45^{\circ }, \angle \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) = 135^{\circ }$. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(- 1, 0, 2), (1, 1, 3), (2, - 1, 1)$.

Даны неколлинеарные векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и скаляр $p$.

Доказать тождества:

Доказать, что проекция вектора $\mathbf{b}$ на прямую, перпендикулярную вектору $\mathbf{a}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$, равна $[\mathbf{a}, \left[\mathbf{b}, \mathbf{a}\right]] / \left|\mathbf{a}\right|^{2}$.

Доказать, что:

Две тройки векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ и $\mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \mathbf{b}_{3}$ называются взаимными, если $\left(\mathbf{a}_{i}, \mathbf{b}_{j}\right) = 0$ при $i \neq j, \left(\mathbf{a}_{i}, \mathbf{b}_{i}\right) = 1$.

Для тройки векторов $\mathbf{a}_{1}(3, 0, 1), \mathbf{a}_{2}(- 1, 1, 2), \mathbf{a}_{3}(1, 2, 1)$ найти взаимную тройку (см. задачу 3. 29).

Решить систему векторных уравнений в пространстве: $(\mathbf{x}, \mathbf{a}) = p, (\mathbf{x}, \mathbf{b}) = q, (\mathbf{x}, \mathbf{c}) = s$ (векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ некомпланарны). Геометрическая интерпретация решения дается в задаче 2. 33.

Точка $M$ лежит на ребре $BB_{1}$ куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, причем $\left|BM\right|:\left|MB_{1}\right| = 2: 1$. Длина ребра куба равна $a$. Найти расстояние между прямыми $CD_{1}$ и $MD$.

Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника $ABC$, равна $3 / 4$ площади треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ через точку $H$ на стороне $AC$ проведена прямая параллельно стороне $BC$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $M$. Площадь треугольника $BHM$ в 4, 5 раза меньше площади треугольника $ABC$. Найти отношение $\left|AM\right|:\left|MB\right|$.

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна $h$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна $S$, отношение длин оснований $\left|AD\right|:\left|BC\right| = 3: 1$. Отрезок $MN$ параллелен стороне $CD$ и пересекает сторону $AB$. При этом $\left|AM\right|:\left|BN\right| = 3: 2$, $\left|MN\right|:\left|CD\right| = 1: 3$; отрезок $AM$ параллелен отрезку $BN$. Найти площадь треугольника $BNC$.

Точка $M$ — середина бокового ребра $AA_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Прямые $BD, MD_{1}$ и $A_{1} C$ попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: $\left|BD\right| = 2a$, $\left|A_{1} C\right| = 4a, \left|BC\right| = 3a / 2$. Найти длину высоты параллелепипеда.

Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части.

В правильном тетраэдре $ABCD$ проведены два сечения, параллельные ребрам $AC$ и $BD$. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны $S_{1}$ и $S_{2}$, а расстояние между секущими плоскостями равно $d$.

Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.