Замена базиса и системы координат

На плоскости даны два базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты $(- 1, 3)$ и $(2, - 7)$ соответственно.

В пространстве даны два базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты $(1, 1, 1), (- 1, - 2, - 3), (1, 3, 6)$ соответственно.

На плоскости даны две системы координат $O$, $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $(- 1, 3)$, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты $(2, 3)$ и $(1, 1)$ соответственно.

В пространстве даны две системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$, $\mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $(1, 1, 2)$, а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты $(4, 2, 1), (5, 3, 2), (3, 2, 1)$ соответственно.

Координаты $x, y$ каждой точки плоскости в системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ выражаются через координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ этой же точки в системе $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ формулами $x = 2x^{\prime } - y^{\prime } + 5$, $y = 3x^{\prime } + y^{\prime } + 2$.

Координаты $x, y, z$ каждой точки пространства в системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ выражаются через координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ этой же точки в системе $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ формулами $x = x^{\prime } + y^{\prime } + z^{\prime } - 1, y = - x^{\prime } + z^{\prime } + 3, z = - x^{\prime } - y^{\prime } - 2$.

Найти координаты вектора в базисе $\mathbf{e}_{1}(2, 3), \mathbf{e}_{2}(3, 4)$ на плоскости, если известны его координаты $\alpha_{1}^{\prime }, \alpha_{2}^{\prime }$ в базисе $\mathbf{e}_{1}^{\prime }(1, - 1), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(2, - 3)$.

Найти координаты вектора в базисе $\mathbf{e}_{1}(1, 3, 2)$, $\mathbf{e}_{2}(- 1, 1, 0), \mathbf{e}_{3}(2, - 1, 1)$ в пространстве, если известны его координаты $\alpha_{1}^{\prime }, \alpha_{2}^{\prime }, \alpha_{3}^{\prime }$ в базисе $\mathbf{e}_{1}^{\prime }(- 1, 0, 2), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(1, 1, 1), \mathbf{e}_{3}^{\prime }(4, 3, - 1)$.

Найти координаты точки в системе координат $O(2, - 1)$, $\mathbf{e}_{1}(1, 5), \mathbf{e}_{2}(- 1, 4)$ на плоскости, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $O^{\prime }(3, 2), \mathbf{e}_{1}^{\prime }(1, - 1), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(4, 2)$.

Найти координаты точки в системе координат $O(1, 3$, $3), \mathbf{e}_{1}(3, 3, 1), \mathbf{e}_{2}(3, 5, 2), \mathbf{e}_{3}(1, 2, 1)$ в пространстве, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $O^{\prime }(- 1, 0, 2)$, $\mathbf{e}_{1}^{\prime }(1, - 2, 1), \mathbf{e}_{2}^{\prime }(4, 2, 1), \mathbf{e}_{3}^{\prime }(2, - 1, 3)$.

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ лежит на диагонали $BD$, причем $\left|BE\right|:\left|ED\right| = 1: 2$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $E, \overrightarrow {EC}, \overrightarrow {ED}$.

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ лежит на стороне $BC$, а точка $F$ — на стороне $AB$, причем $\left|BE\right|:\left|BC\right| = 1: 4, \left|BF\right|:\left|AF\right| = 2: 5$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $C, \overrightarrow {CE}, \overrightarrow {CD}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $E, \overrightarrow {EF}, \overrightarrow {ED}$.

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, причем $\left|BD\right|:\left|DC\right| = 1: 2, \left|AC\right|:\left|CE\right| = 3: 1$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $D, \overrightarrow {DA}, \overrightarrow {DE}$.

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, а точка $E$ — на отрезке $BD$, причем $\left|AD\right|:\left|AC\right| = 1: 3$, $\left|BE\right|:\left|ED\right| = 2: 3$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$, если известны ее координаты $x^{\prime }$, $y^{\prime }$ в системе координат $C, \overrightarrow {CB}, \overrightarrow {CE}$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AF}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $C$, $\overrightarrow {CB}, \overrightarrow {CE}$.

В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$, а длины оснований $BC$ и $AD$ относятся как $2: 3$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $A, \overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AD}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $E$, $\overrightarrow {EA}, \overrightarrow {EB}$.

В трапеции $ABCD$ длины оснований $BC$ и $AD$ относятся как $3: 4$, точка $E$ является серединой основания $AD$, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке $F$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $E, \overrightarrow {EB}$, $\overrightarrow {EC}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $F, \overrightarrow {FB}, \overrightarrow {FC}$.

В основании призмы $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит ромб с острым углом $A$, равным $60^{\circ }$. Точка $K$ лежит на продолжении ребра $AB$ за точку $B$, причем угол $ADK$ прямой. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {AA_{1}}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $K, \overrightarrow {KA}, \overrightarrow {KD}, \overrightarrow {KC_{1}}$.

В треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ точка $M$ — точка пересечения медиан грани $A_{1} B_{1} C_{1}$. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AB_{1}}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $A_{1}, \overline{A_{1} B}$, $\overrightarrow {A_{1} C}, \overrightarrow {A_{1} M}$.

В тетраэдре $ABCD$ точка $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $M, \overrightarrow {MB}, \overrightarrow {MC}, \overrightarrow {MA}$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ является центром основания. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AF}$, $\overrightarrow {AS}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $S, \overrightarrow {SC}, \overrightarrow {SD}, \overrightarrow {SM}$.

Дан параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Найти координаты точки пространства в системе координат $A, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AB_{1}}$, $\overrightarrow {AA_{1}}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ в системе координат $D_{1}, \overrightarrow {D_{1} D}, \overrightarrow {D_{1} C_{1}}, \overrightarrow {D_{1} \bar{B}}$

Координаты $x, y$ каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ этой же точки во второй системе координат соотношениями $x = a_{11} x^{\prime } + a_{12} y^{\prime } + a_{10}, y = a_{21} x^{\prime } + a_{22} y^{\prime } + a_{20}$. Первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной?

Координаты $x, y, z$ каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты $x^{\prime }$, $y^{\prime }, z^{\prime }$ этой же точки во второй системе координат соотношениями

На плоскости даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $x_{0}, y_{0}$, а векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на один и тот же угол $\varphi$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$.

На плоскости даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты 1, 3, а векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на один и тот же угол $\varphi$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$. Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ во второй системе, считая угол $\varphi$ равным:

На плоскости даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $x_{0}, y_{0}$, а векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $- \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на один и тот же угол $\varphi$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1} \mathrm{~ K} \mathbf{e}_{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$, длины катетов которого равны $\left|AB\right| = 3$ и $\left|BC\right| = 4$, точка $D$ является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ имеют длину 1, причем $\mathbf{e}_{1}$ сонаправлен с $\overrightarrow {BA}, \mathbf{e}_{2}$ сонаправлен с $\overrightarrow {BC}, \mathbf{e}_{1}^{\prime }$ сонаправлен с $\overrightarrow {AC}, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$ сонаправлен с $\overrightarrow {DB}$. Найти координаты точки плоскости в системе координат $B, \mathbf{e}_{1}$, $\mathbf{e}_{2}$, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }$ в системе координат $D$, $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$.

В пространстве даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $- 1, 3, 5$. Вектор $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ образует углы, равные $60^{\circ }$, с векторами $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ и острый угол с вектором $\mathbf{e}_{3}$. Вектор $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ компланарен с векторами $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ и образует с вектором $\mathbf{e}_{2}$ острый угол. Тройки $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$ одинаково ориентированы. Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ во второй системе.

В пространстве даны две прямоугольные системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$. Точки $O$ и $O^{\prime }$ различны, а конџы векторов $\mathbf{e}_{2}$ и $\mathbf{e}_{i}^{\prime }$, отложенных соответственно из точек $O$ и $O^{\prime }$, совпадают $(i = 1, 2, 3)$. Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты $x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }$ во второй системе.