26.1

Ортогональное дополнение подпространства (26.1-26.21)

[21/67%]
Показать
LaTeX
Задача 26.1

Пусть aa — ненулевой вектор nn-мерного евклидова пространства. Доказать, что уравнение (a,x)=0(a, x) = 0 определяет подпространство размерности n−1n - 1.

?
Задача 26.2

Пусть множества PP и QQ векторов евклидова пространства таковы, что (x,y)=0(x, y) = 0 для любых x∈Px \in P и y∈Qy \in Q. Доказать, что линейные оболочки этих множеств ортогональны.

?
Задача 26.3

В евклидовом пространстве E\mathcal{E} найти ортогональные дополнения

?
(1)

нулевого подпространства

(2)

пространства E\mathcal{E}.

Задача 26.4

Пусть подпространства L1,…,Ls\mathcal{L}_{1}, \ldots , \mathcal{L}_{s} евклидова пространства попарно ортогональны. Доказать, что L1+…+Ls\mathcal{L}_{1} + \ldots + \mathcal{L}_{s} — прямая сумма.

?
Задача 26.5

Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению:

?
(1)

(L1+L2)⊥=L1⊥∩L2⊥\left(\mathcal{L}_{1} + \mathcal{L}_{2}\right)^{\perp } = \mathcal{L}_{1}^{\perp } \cap \mathcal{L}_{2}^{\perp }

(2)

(L1∩L2)⊥=L1⊥+L2⊥\left(\mathcal{L}_{1} \cap \mathcal{L}_{2}\right)^{\perp } = \mathcal{L}_{1}^{\perp } + \mathcal{L}_{2}^{\perp }

(3)

(L⊥)⊥=L\left(\mathcal{L}^{\perp }\right)^{\perp } = \mathcal{L}.

Задача 26.6

Подпространства L1\mathcal{L}_{1} и L2\mathcal{L}_{2} ортогональны. Обязательно ли ортогональны L1⊥\mathcal{L}_{1}^{\perp } и L212\mathcal{L}_{2}^{\frac{1}{2}}?

?
Задача 26.7

Найти нормированный вектор, ортогональный заданным:

?
(1)

[404],[265]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], базис ортонормированный

(2)

[2321],[1012],[0100]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], базис ортонормированный

(3)

[31]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама A56\mathbf{A}_{56}. A56=[1113]\mathbf{A}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

[−110],[011]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама A207\mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.8

Подпространство L\mathcal{L} задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Aξ=оA\xi = о. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.9

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис подпространства L\mathcal{L}, и координатные столбы векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} в ортонормированном базисе пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.10

Решите с помощью геометрических соображений задачу 18. 20.

?
Задача 26.11

Подпространство L\mathcal{L} задано в базисе ee с матрицей Грама Γ\Gamma системой линейных уравнений Aε=0A\varepsilon = 0. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

матрицу системы уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.12

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис подпространства L\mathcal{L}, и координатные столбы векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} в базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Дана матрица Грама Γ\Gamma базиса е. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

матрицу системы уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.13

Подпространство L\mathcal{L} задано как линейная оболочка векторов, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы:

?
(1)

[312]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right];

(2)

[1−51]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -5 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [−111]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right];

(3)

[3−1591]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -15 \\ 9 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [3−6−32]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 6 \\ - 3 \\ 2\end{smallmatrix}\right];

(4)

[43−32]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [−132−3]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \\ -3\end{smallmatrix}\right], [291−4]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 9 \\ 1 \\ -4\end{smallmatrix}\right].

Найти:

(1) матрицу системы уравнений, определяющей L⊥\mathcal{L}^{\perp },

(2) базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.14

Подпространство L\mathcal{L} задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Aξ=A\xi = о. Найти базис подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }, если матрица AA равна:

?
(1)

[321]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]

(2)

[1−51−111]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[13−122−135110−61]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & - 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & - 6 & 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1−5−61151−4318715]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 5 & - 6 & 11 \\ 5 & 1 & - 4 & 3 \\ 1 & 8 & 7 & 15\end{smallmatrix}\right]

(5)

A519\mathbf{A}_{519}. A519=[12313211231−122215520]\mathbf{A}_{519} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A582\mathbf{A}_{582}. A582=[33−3−341−111−221−1−11]\mathbf{A}_{582} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -3 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A518\mathbf{A}_{518}. A518=[0−22−816824−1604−416]\mathbf{A}_{518} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 & 2 & -8 \\ 16 & 8 & 24 & -16 \\ 0 & 4 & -4 & 16 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A514\mathbf{A}_{514}. A514=[2−3574−6232−3−11−15]\mathbf{A}_{514} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.15

Подпространство L\mathcal{L} задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Aξ=A\xi = о. Найти систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }:

?
(1)

x1−x2+x3+x4=08x1−x2+2x3+4x4=011x1+2x2−x3−x4=0\begin{aligned} & x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ & 8x_{1} - x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} = 0 \\ & 11x_{1} + 2x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0\end{aligned}

(2)

8x1−x2+2x3−4x4=0−6x1+3x2−4x3+6x4=08x_{1} - x_{2} + 2x_{3} - 4x_{4} = 0 - 6x_{1} + 3x_{2} - 4x_{3} + 6x_{4} = 0

(3)

3x1+5x2+x3+3x4+11x5=04x1+7x2+2x3+5x4+16x5=0\begin{aligned} & 3x_{1} + 5x_{2} + x_{3} + 3x_{4} + 11x_{5} = 0 \\ & 4x_{1} + 7x_{2} + 2x_{3} + 5x_{4} + 16x_{5} = 0\end{aligned}

(4)

5x1+24x2−7x3−3x4=0−x1−2x2+7x3+3x4=0\begin{aligned} 5x_{1} + 24x_{2} - 7x_{3} - 3x_{4} & = 0 \\ - x_{1} - 2x_{2} + 7x_{3} + 3x_{4} & = 0\end{aligned}

(5)

Система уравнений имеет матрицу

(1) A573\mathbf{A}_{573},

(2) A583\mathbf{A}_{583}. A573=[0011101001],A583=[−2111−11−12−117−51−55]\mathbf{A}_{573} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{583} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 1 \\ 7 & -5 & 1 & -5 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.16

Найти:

(1) базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp };

(2) матрицу системы уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }, если подпространство L\mathcal{L} задано в базисе e\mathbf{e} с матрицей Грама Γ\Gamma системой линейных уравнений Aξ=oA\xi = \mathbf{o}:

?
(1)

A=[121],Γ=A207A =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=[101110],Γ=A385A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{385}. A385=[1−23−25−83−814]\mathbf{A}_{385} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -8 \\ 3 & -8 & 14 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=[312111],Γ=A386A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{386}. A386=[20−1021−112]\mathbf{A}_{386} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=[−11011−210],Γ=A424A =\left[\begin{smallmatrix} - 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{424}. A424=[200−102−100−120−1002]\mathbf{A}_{424} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.17

Найти

(1) базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp };

(2) систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }, если a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис подпространства L\mathcal{L}, и координатные столбцы векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} в базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. При этом дана матрица Грама Γ\Gamma базиса е:

?
(1)

A=[112],Γ=A207A =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=[112011]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right], Γ=A385\Gamma = \mathbf{A}_{385}. A385=[1−23−25−83−814]\mathbf{A}_{385} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -8 \\ 3 & -8 & 14 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=[111112],Γ=A386A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{386}. A386=[20−1021−112]\mathbf{A}_{386} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=[12211122],Γ=A424A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{424}. A424=[200−102−100−120−1002]\mathbf{A}_{424} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.18

В пространстве квадратных матриц со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства

?
(1)

матриц со следом, равным нулю

(2)

верхних треугольных матриц.

Задача 26.19

В пространстве многочленов степени не выше nn со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства многочленов четной степени.

?
Задача 26.20

Пусть евклидово пространство E\mathcal{E} — прямая сумма подпространств Li(i=1,…,s)\mathcal{L}_{i}(i = 1, \ldots , s), и x=∑xiy=∑yi(xi,yi∈∈Li)x = \sum x_{i} y = \sum y_{i}\left(x_{i}, y_{i} \in \in \mathcal{L}_{i}\right). Доказать, что подпространства Li\mathcal{L}_{i} погарно ортогональны, если (x,y)=∑(xi,yi)(x, y) = \sum \left(x_{i}, y_{i}\right) для любых xx и yy.

?
Задача 26.21
?
(1)

Для нахождения коэффициентов разложения вектора b⃗\vec{b} по векторам a1→\overrightarrow {a_{1}} и a2→\overrightarrow {a_{2}} составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Установить, что теорема Фредгольма для этой системы равносильна следующему (геометрически очевидному) утверждению: вектор b⃗\vec{b} раскладывается по a1‾\overline{a_{1}} и a2‾\overline{a_{2}} тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору yˉ\bar{y}, ортогональному этим векторам.

(2)

Доказать теорему Фредгольма, пользуясь результатом задачи 26.5,3)26. 5, 3).