Банк задач по математике

Задача 26.22

(1)(2)

В евклидовом пространстве $\mathcal{E}$ задан вектор $x$ . Найти его ортогональную проекцию и ортогональную составляющую при проектировании

?

(1)

на нулевое подпространство;

(2)

на $\mathcal{E}$ .

Задача 26.23

В подпространстве $\mathcal{L} \subset \mathcal{E}$ задан базис $a_{1}, \ldots , a_{k}$ . В ортонормированном базисе пространства $\mathcal{E}$ координатные столбцы этих векторов составляют матрицу $A$ . Вектор $x\in \mathcal{E}$ задан своим координатным столбпом $\xi$ . Найти ортогональные проекции $x^{\prime }$ и $x^{\prime \prime }$ вектора $x$ на $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^{\perp }$ .

?

Задача 26.24

В ортонормированном базисе подпространство $\mathcal{L}$ задано системой линейных уравнений с матрицей $A$ (строки $A$ линейно независимы). Вектор $x$ задан своим координатным столбцом $\xi$ . Найти ортогональные проекции $x^{\prime }$ и $x^{\prime \prime }$ вектора $x$ на $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^{\perp }$ .

?

Задача 26.25

В пространстве $\mathcal{E}$ выбран базис $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ . Подпространство $\mathcal{L}$ натянуто на линейно независимые векторы $a_{1}, \ldots , a_{k}$ , координатные столбцы которых составляют матрицу $A$ . Вектор $x\in \mathcal{E}$ задан своим координатным столбцом $\xi$ . Найти ортогональные проекции $x^{\prime }$ и $x^{\prime \prime }$ вектора $x$ на $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^{\perp }$ .

?

Задача 26.26

В базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ подпространство $\mathcal{L}$ задано системой линейных уравнений с матрицей $A$ (строки $A$ линейно независимы). Вектор $x$ задан своим координатным столбцом $\xi$ . Найти ортогональные проекции $x^{\prime }$ и $x^{\prime \prime }$ вектора $x$ на $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^{\perp }$ .

?

Задача 26.27

Подпространство $\mathcal{L}$ — линейная оболочка векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$ . В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец ६ вектора $x$ . Найти координатные столбцы $\xi^{\prime }$ и $\xi^{\prime \prime }$ ортогональных проекций вектора $x$ соответственно на $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^{\perp }$ :

?

(1)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 10 \\ 5 \\ 5\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ - 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ - 2\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 7 \\ 0\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$ , $\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ - 2\end{smallmatrix}\right]$

(5)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 5 \\ - 2 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \xi =\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \\ 2\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ - 3 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 9 \\ 1 \\ - 4\end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} - 1 \\ 3 \\ 2 \\ - 3\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \\ - 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$

(7)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \\ - 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 1 \\ - 3\end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \\ - 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 4 \\ - 2 \\ - 4\end{smallmatrix}\right]$

(8)

$\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$ , $\xi =\left[\begin{smallmatrix} - 7 \\ 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$

(9)

$\mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{201}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{202}, \quad \xi = \mathbf{c}_{168}$ . $\mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$\mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{176}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{161}, \quad \xi = \mathbf{c}_{193}$ . $\mathbf{c}_{176} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{161} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{193} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(11)

$\mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{236}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{271}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{283}, \quad \xi = \mathbf{c}_{232}$ . $\mathbf{c}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{271} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \\ -2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 26.28

В ортонормированном базисе подпространство $\mathcal{L}$ задано системой линейных уравнений с матрицей $A$ , а вектор $x$ — координатным столбцом $\xi$ . Найти проекции $x$ на $\mathcal{L}$ и на $\mathcal{L}^{\perp }:$

?

(1)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 5 & 1 \\ 3 & - 5 & 6 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 7 \\ - 5 \\ 9 \\ 4\end{smallmatrix}\right]$

(5)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 10 & 3 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 3 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 8 \\ - 5 \\ 3 \\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 26.29

Для векторов и подпространств, заданных в задаче 26. 28:

?

(1)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 5 & 1 \\ 3 & - 5 & 6 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 7 \\ - 5 \\ 9 \\ 4\end{smallmatrix}\right]$

(5)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 10 & 3 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 3 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 8 \\ - 5 \\ 3 \\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ .

найти координаты вектора $y$ , получаемого отражением вектора $x$ в подпространстве $\mathcal{L}$ .

Задача 26.30

(1)(2)

Найти ортогональную проекцию многочлена $35t^{4} + 15t^{3} - 15t^{2} - 8t + 4$ на подпространство многочленов степени не выше 2 в пространстве многочленов:

?

(1)

со стандартным скалярным произведением

(2)

со скалярным произведением, определенным в задаче 25. 8(3).

Задача 26.31

(1)(2)

В пространстве многочленов со стандартным скалярным произведением найти расстояние от многочлена $t^{n}$ до линейной оболочки многочленов $1, t, \ldots , t^{n - 1}$ :

?

(1)

при $n = 2$

(2)

при $n = 3$ .

Задача 26.32

Пусть $f_{1}, \ldots , f_{k}$ базис подпространства $\mathcal{L}$ . Доказать, что ортогональная проекция произвольного вектора $x$ на $\mathcal{L}$ равна сумме его проекций на одномерные подпространства, натянутые на $f_{1}, \ldots , f_{k}$ , тогда и только тогда, когда базис ортогональный.

?

Задача 26.33

Пусть для любого вектора $x\in \mathcal{E}$ сумма его ортогональных проекций на подпространства $\mathcal{L}_{1}, \mathcal{L}_{2} \subset \mathcal{E}$ равна ортогональной проекции $x$ на их сумму $\mathcal{L}_{1} + \mathcal{L}_{2}$ . Доказать, что подпространства $\mathcal{L}_{1}$ и $\mathcal{L}_{2}$ ортогональны.

?

Задача 26.34

Рассматривается пространство функций, непрерывных на отрезке $\left[ - 1, 1\right]$ , со скалярным произведением, опреде — ленным в задаче 25. 7. Ортогональную проекцию функции $f$ на подпространство $\mathcal{P}_{k}$ многочленов степени не выше $k$ , разложить по базису, состоящему из многочленов Лежандра $P_{i}(t)$ (задача 25. 9).

?

Задача 26.35

Пусть $x^{\prime }$ — ортогональная проекция $x$ на подпространство. Доказать, что $\left|x^{\prime }\right| \leqslant \left|x\right|$ , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x^{\prime } = x$

?

Задача 26.36

Пусть $x^{\prime }$ — ортогональная проекция $x$ на подпространство $\mathcal{L} \subset \mathcal{E}$ , а $x^{\prime \prime }$ — ортогональная составляющая. Доказать, что для любого вектора $y\in \mathcal{L}$ , отличного от $x^{\prime }$ , выполнено $\left|x^{\prime \prime }\right| < \left|x - y\right|$

?

Задача 26.37

Пусть $\mathcal{L}_{i}, \quad (i = 1, \ldots , s)$ попарно ортогональные подпространства евклидова пространства. Доказать, что сумма квадратов длин проекций произвольного вектора $x$ на эти подпространства не превосходит $\left|x\right|^{2}$ , и эта граница достигается, если $x$ принадлежит сумме подпространств.

?

Задача 26.38

(1)(2)

Рассмотрим два подпространства $\mathcal{L}_{1} \subseteq \mathcal{L}_{2}$ . Обозначим через $\mathcal{L}^{\prime }$ ортогональное дополнение $\mathcal{L}_{1}$ в $\mathcal{L}_{2}$ , а $x_{1}, x_{2}$ и $x^{\prime }$ ортогональные проекции вектора $x$ на подпространства $\mathcal{L}_{1}, \mathcal{L}_{2}$ и $\mathcal{L}^{\prime }$ . Доказать, что:

?

(1)

$x_{2} = x_{1} + x^{\prime }$

(2)

$\left|x_{1}\right| \leqslant \left|x_{2}\right|$ , причем для любого $x$ равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathcal{L}_{1} = \mathcal{L}_{2}$ .

Задача 26.39

Пусть $\mathcal{L} - k$ -мерное подпространство $n$ -мерного евклидова пространства $\mathcal{E}$ . Пусть также $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис в $\mathcal{E}$ , а $e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$ ортогональные проекции этих векторов на $\mathcal{L}$ . Доказать, что $\sum_{i = 1}^{k} \left|e_{i}^{\prime }\right|^{2} = k$ .

?

Задача 26.40

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов $g_{1}, \ldots , g_{n}$ такова, что $\sum_{i = 1}^{n}\left|e_{i} - g_{i}\right| < 1$ . Доказать, что эта система векторов линейно независима.

?

Задача 26.41

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов $g_{1}, \ldots , g_{n}$ такова, что $\sum_{i = 1}^{n} \cos \left(\widehat{e}_{i}, g_{i}\right) \geqslant (2n - 1) / 2$ . Доказать, что эта система векторов линейно независима.

?

Ортогональные проекции (26.22-26.41)