26.6

Отражение (26.59-26.62)

[4/100%]
Показать
LaTeX
Задача 26.59

Пусть ненулевые векторы xx и aa заданы их координатными столбцами ξ\mathbf{\xi } и a\mathbf{a} соответственно, подпространство L\mathcal{L} определяется уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Найти образ yy при отражении вектора xx в подпространстве L\mathcal{L}:

?
(1)

ξ=[11],a=[10]\xi = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], базис ортонормированный

(2)

ξ=c162,a=c171\xi = \mathbf{c}_{162}, \quad \mathbf{a} = \mathbf{c}_{171}, базис ортонормированный. c162=[9036],c171=[−1110]\mathbf{c}_{162} = \left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 0 \\ 3 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

ξ=[11],a=[10]\xi = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама A19\mathbf{A}_{19}. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

ξ=[221−1],a=[1100]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама [4004044004804008]\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 8\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.60

В ортонормированном базисе подпространство L\mathcal{L} задано системой линейных уравнений с матрицей AA, а вектор xx — координатным столбцом ξ\xi. Найти образ yy при отражении вектора xx в подпространстве L\mathcal{L}:

?
(1)

A=[111],ξ=[123]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[32−5−1−12],ξ=[426]A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[11111],ξ=[54321]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

A=[2−3513−561],ξ=[7−594]A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 5 & 1 \\ 3 & - 5 & 6 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 7 \\ - 5 \\ 9 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

A=[435−2324−1],ξ=[−2420]A =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & -1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(6)

A=[1031341018311],ξ=[−2420]A =\left[\begin{smallmatrix} 10 & 3 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 3 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.61

При каком необходимом и достаточном условии вектор xx можно перевести в вектор yy с помощью отражения в (n−1)(n - 1)-мерном подпространстве L\mathcal{L}? Как найти такое подпространство, если условие выполнено?

?
Задача 26.62

Подобрать (n−1)(n - 1)-мерное подпространство L\mathcal{L} так, чтобы вектор xx при отражении в нем перешел в данный вектор yy. Векторы заданы в ортонормированном базисе их координатными столбцами ξ\xi и η\eta:

?
(1)

ξ=[12],η=[21]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \eta = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]

(2)

ξ=c192,η=c197\xi = \mathbf{c}_{192}, \quad \eta = \mathbf{c}_{197}. c192=[1030],c197=[1122]\mathbf{c}_{192} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

ξ=c160,η=c182\xi = \mathbf{c}_{160}, \quad \eta = \mathbf{c}_{182}. c160=[4530],c182=[1001]\mathbf{c}_{160} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{182} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

ξ=c203,η=c168\xi = \mathbf{c}_{203}, \quad \eta = \mathbf{c}_{168}. c203=[2222],c168=[0100]\mathbf{c}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].