28.1

Примеры линейных преобразований евклидова пространства (28.1-28.9)

[9/100%]
Показать
LaTeX
Задача 28.1

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — ортонормированный базис в подпространстве L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E}. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Написать в базисе ee матрицу

?
(1)

ортогонального проектирования на пространство L\mathcal{L}

(2)

матрицу отражения в подпространстве L\mathcal{L}.

Задача 28.2

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис в подпространстве L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E}. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Написать в базисе ee матрицу:

?
(1)

ортогонального проектирования на подпространство L\mathcal{L}

(2)

матрицу отражения в подпространстве L\mathcal{L}.

Задача 28.3

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис в подпространстве L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E}. Координатные столбцы этих векторов в базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Дана матрица Грама Γ\Gamma базиса e\mathbf{e}. Написать в базисе ee матрицу:

?
(1)

ортогонального проектирования на подпространство L\mathcal{L}

(2)

матрицу отражения в подпространстве L\mathcal{L}.

Задача 28.4
?
(1)

Дан вектор aa, и подпространство L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E} задано уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Найти образ вектора xx при отражении в L\mathcal{L} и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора aa в ортонормированном базисе.

(2)

Пусть даны вектор xx и вектор yy длины 1. Найти (n−1)(n - 1) мерное подпространство, при отражении в котором xx переходит в вектор λy(λ>0)\lambda y\quad (\lambda > 0). Чему равно λ\lambda?

Задача 28.5

Найти матрицу отражения в (n−1)(n - 1)-мерном подпространстве, переводящего вектор xx в вектор yy. Векторы заданы своими координатными столбцами ξ\xi, и η\eta в ортонормированном базисе:

?
(1)

ξ=[12],  η=[21]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \; \eta =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

ξ=[−12],  η=[1−2]\xi =\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \; \eta =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2\end{smallmatrix}\right]

(3)

ξ=[111],  η=[1−11]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \; \eta =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

ξ=[21−2],  η=[030]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ - 2\end{smallmatrix}\right], \; \eta =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 3 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(5)

ξ=[1021],  η=[2−110]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \; \eta =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right].

Задача 28.6

Выяснить геометрический смысл преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей:

?
(1)

(1/2)A468(1 / 2) \mathbf{A}_{468}. A468=[111−111−111−111−1111]\mathbf{A}_{468} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

(1/3)A202(1 / 3) \mathbf{A}_{202}. A202=[12221−22−21]\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

(1/18)A350(1 / 18) \mathbf{A}_{350}. A350=[1−41−416−41−41]\mathbf{A}_{350} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -4 & 1 \\ -4 & 16 & -4 \\ 1 & -4 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A430\mathbf{A}_{430}. A430=[000−100−1001001000]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A431\mathbf{A}_{431}. A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 28.7

Рассматривается четырехмерное евклидово пространство и ортонормированный базис ee в нем. Во всех случаях поворот производится в направлении от первого из указанных векторов ко второму. Написать матрицу:

?
(1)

поворота на π/2\pi / 2 в линейной оболочке L\mathcal{L} векторов e2+e3e_{2} + e_{3} и e1−e4e_{1} - e_{4} (векторы L⊥\mathcal{L}^{\perp } неподвижны);

(2)

поворота на π/4\pi / 4 в линейной оболочке L\mathcal{L} векторов e1+e4e_{1} + e_{4} и e2−e3e_{2} - e_{3} (векторы L⊥\mathcal{L}^{\perp } неподвижны);

(3)

поворота на π/6\pi / 6 в линейной оболочке L\mathcal{L} векторов e1−e2e_{1} - e_{2} и e3−e4e_{3} - e_{4} (векторы L⊥\mathcal{L}^{\perp } неподвижны);

(4)

поворота на π/4\pi / 4 в линейной оболочке L\mathcal{L} векторов e1+e2e_{1} + e_{2} и e3+e4e_{3} + e_{4} и на π/4\pi / 4 в линейной оболочке L\mathcal{L} векторов e3−e4e_{3} - e_{4} и e1−e2e_{1} - e_{2}.

Задача 28.8

Пусть f1,…,fmf_{1}, \ldots , f_{m} и g1,…,gmg_{1}, \ldots , g_{m} — две системы векторов в nn-мерном евклидовом пространстве. Их координатные столбцы в ортонормированном базисе составляют, соответственно, матрицы FF и GG. Найти матрицу преобразования

φ(x)=∑j=1m(x,fȷ)gȷ. \varphi (x) = \sum _{j = 1}^{m}\left(x, f_{\jmath }\right) g_{\jmath }.
?
Задача 28.9

В подпространствах A,B⊂E\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset \mathcal{E} выбраны ортонормированные базисы a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} и b1,…,bmb_{1}, \ldots , b_{m}. Вектор x∈Ax\in \mathcal{A} проектируется на B\mathcal{B}, а затем полученная проекция проектируется на A\mathcal{A}. Өтим определено преобразование подпространства A\mathcal{A}. Найти его матрицу в базисе a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}. Доказать, что собственные значения этого преобразования принадлежат отрезку [0,1]\left[0, 1\right].

?