Ортогональные преобразования (29.38-29.51)

Пусть преобразование $\varphi$ изометрично, т. е. $(\varphi (x), \varphi (y)) = (x, y)$ для любых векторов $x$ и $y$. Доказать, что $\varphi$ линейно и взаимно однозначно.

Доказать, что ортогональные преобразования евклидова пространства $\mathcal{E}$ образуют группу относительно обычной операции умножения преобразований.

Доказать, что для любых двух векторов одинаковой длины найдется ортогональное преобразование, переводящее первый вектор во второй.

Доказать, что для любых двух ортонормированных базисов найдется ортогональное преобразование, переводящее первый базис во второй.

Доказать, что преобразование из задачи 28. 23 является ортогональным тогда и только тогда, когда матрица $A$ ортогональна.

В евклидовом пространстве выбран базис с матрицей Грама Г. Найти условие на матрицу линейного преобразования, необходимое и достаточное для того, чтобы это преобразование было ортогональным.

Может ли ортогональное преобразование в некотором базисе иметь матрицу:

Ортогональное преобразование арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы $A$ в столбцы $B$. Как связаны матрицы $A$ и $B?$

Линейное преобразование $\varphi$ арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбщы матрицы $A$ в столбцы матрицы $B$. Является ли $\varphi$ ортогональным:

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{k}$ и $y_{1}, \ldots , y_{k}$ — векторы $n$-мерного евклидова пространства, и ортогональное преобразование $\varphi$ таково, что $\varphi \left(x_{i}\right) = y_{i}, \quad i = 1, \ldots , k$. Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда матрицы из попарных скалярных произведений обеих систем векторов равны.

Пусть $\mathcal{L}$ — инвариантное подпространство ортогонального преобразования $\varphi$. Доказать, что $\mathcal{L}^{\perp }$ — также инвариантно относительно $\varphi$. Как этот результат связан с задачей $25. 55?$

Ортогональное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей $A$. Найти матрицу $S$ перехода к каноническому базису и матрицу $A^{\prime }$ преобразования в этом базисе:

Доказать, что преобразование $\varphi^{ * } \varphi$ ортогонально тогда и только тогда, когда ортогонально $\varphi$.