Биортогональный базис (31.33-31.42)

Как преобразуется биортогональный базис, если данный базис преобразуется матрицей перехода $S$?

Построить базис пространства $\mathcal{P}^{(2)}$, биортогональный базису из функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$, определенных в задаче 31. 23.

Найти базис пространства $\mathcal{P}^{(n)}$, биортогональный базису из функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots , \varphi_{n + 1}$, построенному в задачах $31. 21, 31. 22$. Вычислить координаты произвольного многочлена в найденном базисе.

Построить базис пространства $\mathcal{P}^{(2)}$, биортогональный базису из функций $\delta_{0}, \delta_{1}, \delta_{2}$, определенных в задаче 31. 32.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис в пространстве $\mathcal{L}_{n}$, а $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{n}$ — биортогональный ему базис в $\mathcal{L}_{n}^{ * }$. Доказать, что для всех $x\in \mathcal{L}_{n}$ выполнено равенство

а для всех у $\in \mathcal{L}_{n}^{ * }$ — равенство

Применить формулу (1) к базисам, рассмотренным в задаче 31. 34.

Используя результат задачи 31. 34, доказать, что многочлены $p_{0}, \ldots , p_{k}$ степени не выше $k$ линейно независимы тогда и только тогда, когда для некоторого $t_{0} \operatorname {det}\left\| p_{2}^{(\jmath)}\left(t_{0}\right)\right\| \neq 0$.

Найти базис, биортогональный стандартному базису пространства $\mathcal{R}_{n \times n}$. Вычислить матрицы $C$, соответствующие функциям этого базиса (в смысле задачи 31. 17).

Матрицы Паули

образуют базис в пространстве комплексных квадратных матриц порядка 2. Найти базис, биортогональный базису $\sigma_{0}, \sigma_{1}$, $\sigma_{2}, \sigma_{3}$, и вычислить матрицы $C$, соответствующие функциям этого базиса в смысле задачи 31. 17.