Обращение линейной функции в нуль (31.43-31.50)

Доказать, что произведение двух линейных функций на $\mathcal{L}_{n}$ тождественно равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из функций нулевая.

Пусть $\mathrm{f}$ — линейная функция на $\mathcal{L}_{n}$. Доказать, что множество $\mathcal{N}$ векторов, для которых $\mathrm{f}(x) = 0$, является линейным подпространством в $\mathcal{L}_{n}$. Какова размерность $\mathcal{N}$? Возможно ли совпадение $\mathcal{N}$ и $\mathcal{L}_{n}$?

Пусть f, $\mathrm{g}$ — линейные функции на $\mathcal{L}_{n}$ и $\mathrm{f}(x) = 0$ для всех тех $x$, для которых $\mathrm{g}(x) = 0$. Доказать, что тогда найдется такое число $\alpha$, что $\mathrm{f} = \alpha \mathrm{g}$.

В пространстве $\mathcal{L}_{4}$ выбран базис и даны линейные функции с координатными строками $(5, 24, - 7, - 1)$ и $(- 1, - 2, 7, 3)$. Найти множество векторов, на которых эти функции одновременно обращаются в 0.

Пусть $\mathcal{N}$ — линейное подшространство в $\mathcal{L}_{n}, \mathcal{K}$ — множество всех линейных функций, обращающихся в 0 на $\mathcal{N}$. Доказать, что $\mathcal{K}$ является линейным подпространством в $\mathcal{L}_{n}^{ * }$, и вычислить его размерность.

Подпространство $\mathcal{N}$ в $\mathcal{L}_{5}$ задано в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами $\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ и $\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$. Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, обращающихся в 0 на $\mathcal{N}$.

Подпространство $\mathcal{N} \subset \mathcal{P}^{(6)}$ задано как множество всех многочленов вида $(t - 1)(t - 2)^{2} p(t)$, где $p(t) \in \mathcal{P}^{(3)}$. Найти множество линейных функций, определенных на $\mathcal{P}^{(6)}$ и обращающихся в 0 на $\mathcal{N}$.

Пусть $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{k}$ и $\mathrm{f}$ линейные функции на линейном пространстве $\mathcal{L}$, и $\mathcal{N}$ — множество таких векторов из $\mathcal{L}$, что $\mathrm{f}_{1}(x) = \ldots = \mathrm{f}_{k}(x) = 0$. Доказать, что $\mathrm{f}$ раскладывается по $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{k}$ тогда и только тогда, когда $\mathrm{f}(x) = 0$ для всех $x$ из $\mathcal{N}$.