Линейные операции, умножение тензоров (36.1-36.20)

$A = \mathbf{A}_{650}, B = \mathbf{A}_{651}$. $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$A = \mathbf{A}_{651}, B = \mathbf{A}_{652}$. $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$A = \mathbf{A}_{652}, B = \mathbf{A}_{653}$. $\mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{653} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 7 & -4 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 8 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$A = \mathbf{A}_{693}, B = \mathbf{A}_{697}$. $\mathbf{A}_{693} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{697} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$A = \mathbf{A}_{662}, B = \mathbf{A}_{665}, C = \mathbf{A}_{663}, D = \mathbf{A}_{652}$. $\mathbf{A}_{662} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 11 & 14 \\ 8 & 13 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 17 & 23 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{665} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -6 & 4 \\ 13 & 22 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 23 \\ 17 & 27 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{663} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 5 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$A = \mathbf{A}_{650}, B = \mathbf{A}_{651}, C = \mathbf{A}_{652}, D = \mathbf{A}_{653}$. $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{653} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 7 & -4 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 8 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$A = \mathbf{A}_{666}, B = \mathbf{A}_{663}, C = \mathbf{A}_{650}, D = \mathbf{A}_{652}$. $\mathbf{A}_{666} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -10 & -6 \\ -1 & -8 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -15 & -11 \\ 3 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{663} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 5 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

Какова размерность линейного пространства $\mathcal{L}$ тензоров типа $(p, q)$ в двумерном пространстве?

Указать какой — нибудь базис в $\mathcal{L}$.

Указать еще один базис в $\mathcal{L}$.

$(0, 1)$

$(1, 1)$

(р) $(0, 2)$

$(1, 2)$

Тип $a$: $(1, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{12}$, тип $b$: $(1, 0)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{31}$. $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{12}$, тип $b$: $(0, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{31}^T$. $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{12}^T$, тип $b$: $(1, 0)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{31}$. $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 1)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{12}^T$, тип $b$: $(0, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{31}^T$. $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 2)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{17}$, тип $b$: $(0, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{7}^T$. $\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 1)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{7}^T$, тип $b$: $(0, 2)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{17}$. $\mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(2, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{18}$, тип $b$: $(1, 0)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{8}$. $\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 1)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{18}$, тип $b$: $(1, 0)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{8}$. $\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{8}$, тип $b$: $(2, 0)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{18}$. $\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{8}$, тип $b$: $(1, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{18}$. $\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 3)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{650}$, тип $b$: $(0, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{25}^T$. $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{25} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 1)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{25}^T$, тип $b$: $(0, 3)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{650}$. $\mathbf{c}_{25} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 2)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{651}$, тип $b$: $(0, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{c}_{8}^T$. $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 1)$, матрица $a$: $\mathbf{c}_{8}^T$, тип $b$: $(1, 2)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{651}$. $\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 2)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{17}$, тип $b$: $(0, 2)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{18}$. $\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(0, 2)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{18}$, тип $b$: $(0, 2)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{17}$. $\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(1, 1)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{13}$, тип $b$: $(1, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{19}$. $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$.

Тип $a$: $(2, 0)$, матрица $a$: $\mathbf{A}_{13}$, тип $b$: $(1, 1)$, матрица $b$: $\mathbf{A}_{19}$. $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$.

$a^{i} b^{j}$

$a_{i} b_{j}$

$a^{i} b_{j}$

$a_{i} b^{j}$

$A\otimes B$

$B\otimes A?$

$f\otimes g$;

$g\otimes f$.

Пусть $x$ — вектор, $\mathrm{f}$ — ковектор. Доказать, что $\mathrm{f} \otimes x = x\otimes \mathrm{f}$.

Привести пример тензоров $a$ и $b$, для которых $a\otimes b \neq b\otimes a$.

$x_{1} \otimes x_{2} + x_{2} \otimes x_{3}$

$x_{1} \otimes x_{2} \otimes x_{3} + x_{2} \otimes x_{3}$

$x_{1} \otimes \mathrm{f}_{1} - 2\mathrm{f}_{1} \otimes x_{1}$

$x_{1} \otimes \mathrm{f}_{2} + \mathrm{f}_{1} \otimes \mathrm{f}_{2}$

$x_{1} \otimes \mathrm{f}_{2} + x_{2} \otimes \mathrm{f}_{1}$

$f_{1} \otimes x_{1} \otimes x_{2} + x_{2} \otimes x_{3} \otimes \mathrm{f}_{2}$

$x_{1} \otimes x_{2} + x_{3} \otimes x_{3} - x_{1} \otimes x_{1}$

$f_{1} \otimes f_{2} - 3\left(f_{2} \otimes f_{3}\right)$.

Пусть $a = x\otimes y$, а векторы $x$ и $y$ имеют в базисе $\mathbf{e}$ компоненты $1, 0, 0$ и $0, 1, 0$ соответственно. Найти компоненты тензора $a$ в базисе $e$ и в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$, где $S = \mathbf{A}_{207}$. $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$.

Пусть $a = \mathrm{f} \otimes \mathrm{g}$, а ковекторы $\mathrm{f}$ и $\mathrm{g}$ имеют в базисе $e$ координатные строки $(1, 0, 0)$ и $(0, 1, 0)$ соответственно. Найти компоненты тензора $a$ в базисе $\mathbf{e}$ и в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$, где $S = \mathbf{A}_{207}$. $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$.

Пусть $a = x\otimes \mathrm{f}$, а вектор $x$ и ковектор $\mathrm{f}$ имеют в базисе компоненты $1, 0, 0$ и $0, 1, 0$ соответственно. Найти компоненты тензора $a$ в базисе $e$ и в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$, где $S = \mathbf{A}_{207}$. $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$.

тип $(2, 0)$ и матрицу $\mathbf{A}_{5}$. $\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$.

тип $(2, 1)$ и матрицу $\mathbf{A}_{673}$. $\mathbf{A}_{673} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

Пусть $a$ — тензор типа $(1, 1)$ и матрица его компонент имеет ранг $r$. Доказать, что найдутся $r$ линейно независимых векторов $a_{1}, \ldots , a_{r}$ и $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{r}$ таких, что $a = \sum_{\alpha = 1}^{r} a_{\alpha } \otimes \mathrm{f}^{\alpha }$.

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа $(2, 0)$.

Пусть тензор $a$ типа $(0, 2)$ имеет в некотором базисе матрицу ранга $r$. Доказать, что существуют $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{r}$ и $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{g}_{1}, \ldots , \mathrm{g}_{r}$ таких, что $a = \sum_{\alpha = 1}^{r} \mathrm{f}_{\alpha } \otimes \mathrm{g}_{\alpha }$.

Представить билинейную функцию $3\xi^{1} \eta^{1} + 2\xi^{1} \eta^{2} + 3\xi^{2} \eta^{1} + 2\xi^{2} \eta^{2}$ как произведение линейных. Единственно ли такое представление?

Билинейная функция $\mathrm{f}$ в некотором базисе линейного пространства задана матрицей $\mathbf{A}_{454}$. Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций: $\mathrm{f}(x, y) = \mathrm{f}_{1}(x) \mathrm{g}_{1}(y) + \mathrm{f}_{2}(x) \mathrm{g}_{2}(y)$. Единственно ли это представление? $\mathbf{A}_{454} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -3 & -6 & -9 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.