Банк задач по математике

Задача 36.21

(1)(2)(3)(4)

Исходя из законов преобразования тензоров $a_{jk}^{i}, a_{j}^{i}$ , $b_{j}^{i}, a_{i}, b^{ij}, a_{klm}^{ij}, \xi^{k}$ , проверить закон преобразования компонент сверток:

?

(1)

$a_{ji}^{i}$

(2)

$a_{j}^{i} b_{k}^{j}$

(3)

$a_{i} b^{ij}$

(4)

$a_{klm}^{ij} \xi^{k}$ .

Задача 36.22

(1)(2)(3)

Исходя из геометрического смысла тензоров $a_{i}, \xi^{i}$ , $a_{j}^{i}, b_{ij}$ , объяснить геометрический смысл сверток:

?

(1)

$a_{i} \xi^{i}$

(2)

$a_{j}^{i} \xi^{j}$

(3)

$b_{ij} \xi^{i} \xi^{j}$ .

Задача 36.23

(1)(2)(3)

Можно ли свернуть:

?

(1)

вектор и ковектор?

(2)

вектор и вектор?

(3)

пару ковекторов?

Задача 36.24

Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях.

?

Задача 36.25

(1)(2)(3)

Тензоры $a_{j}^{i}, \xi^{i}, \varkappa_{i}$ заданы матрицами: $\mathbf{A}_{232}, \mathbf{c}_{104}$ , $\mathbf{c}_{104}^{T}$ . Вычислить свертки:. $\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

?

(1)

$a_{j}^{i} \xi^{j}$

(2)

$a_{j}^{i} \varkappa_{i}$

(3)

$a_{j}^{i} \xi^{j} \varkappa_{i}$

Задача 36.26

Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа $(2, 2)$ ?

?

Задача 36.27

(1)(2)

Тензор $a_{k}^{ij}$ задан матрицей:

?

(1)

$\mathbf{A}_{651}$ . $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{655}$ . $\mathbf{A}_{655} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

Найти матрицы сверток:

(1) $a_{i}^{i j}$ ,

(2) $a_{j}^{i j}$ .

Задача 36.28

(1)(2)(3)

Тензор $a_{kl}^{ij}$ задан матрицей:

?

(1)

$\mathbf{A}_{649}$ . $\mathbf{A}_{649} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 8 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{693}$ . $\mathbf{A}_{693} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{694}$ . $\mathbf{A}_{694} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Вычислить свертки:

(1) $a_{i l}^{i j}$ ;

(2) $a_{k j}^{i j}$ ;

(3) $a_{k i}^{i j}$ ;

(4) $a_{i l}^{i j}$ ;

(5) $a_{i j}^{i j}$ ;

(6) $a_{j i}^{i j}$ .

Задача 36.29

(1)(2)

?

(1)

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}$ сопоставлен упорядоченный набор чисел $a_{klm}^{ij}$ (все индексы пробегают значения от 1 до $n$ ). Известно, что для произвольного вектора $\xi^{k}$ числа $a_{klm}^{ij} \xi^{k}$ являются компонентами тензора типа $(2, 2)$ . Доказать, что $a_{klm}^{ij}$ — тензор типа $(2, 3)$ .

(2)

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}$ сопоставлен упорядоченный набор чисел $a_{klm}^{ij}$ (все индексы пробегают значения от 1 до $n)$ . Известно, что для произвольного тензора $u_{ij}^{k}$ типа $(1, 2)$ числа $a_{klm}^{ij} u_{ij}^{k}$ являются компонентами тензора типа $(0, 2)$ . Доказать, что $a_{klm}^{ij}$ — тензор типа $(2, 3)$ .

Свертывание (36.21-36.29)