Транспонирование, симметрирование, альтернирование. Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30-36.57).

типа $(1, 1)$

типа $(2, 0)$?

$a_{ij}$

$a^{ij}$

$a_{k}^{ij}$

$a_{jk}^{i}$

Сколько различных тензоров можно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора $a_{i_{1} \ldots i_{k}}?$

Тензор типа $(0, 3)$ задан матрицей $\mathbf{A}_{670}$. Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием. Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип $(3, 0)?$. $\mathbf{A}_{670} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

Тензор $a$ с компонентами $a_{ijk}$ задан матрицей $\mathbf{A}_{727}$. Выписать матрицы транспонированных тензоров $b$ и $c$, если $b_{ijk} = a_{jki}, c_{ijk} = a_{ikj}$. $\mathbf{A}_{727} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 9 & 7 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 7 & 9 & 8 \\ 3 & 1 & 2 \\ 8 & 6 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 6 & 4 & 5 \\ 1 & 9 & 5 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

Тензор $a$ с компонентами $a_{ijkl}$ задан матрицей $\mathbf{A}_{717}$. Выписать матрицы транспонированных тензоров $b$ и $c$, если $b_{ijkl} = a_{kjli}; c_{ijkl} = a_{lkji}$. $\mathbf{A}_{717} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} 9 & 10 \\ 13 & 14 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 11 & 12 \\ 15 & 16 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$x^{i} y^{k}$

$x^{(i} y^{k)}$

$x^{\left[i\right] y^{k}}$

$x^{i} a_{jk}$

$x^{i} a_{ik}$

$x^{k} a_{i}^{i}$

$x^{(k} a_{i}^{i)}$

$x^{\left[k\right] a_{i}^{i}}$

$a_{i}^{i} a_{k}^{k}$

$a_{\left[i\right]^{i} a_{k}}^{k}$

$a_{(i}^{i} a_{k)}^{k}$

$\delta_{j}^{i} a_{i}^{k}$

$\delta_{j}^{i} a_{k}^{j}$

$\delta_{j}^{i} a_{i}^{j}$

$\delta_{j}^{i} a_{l}^{k}$

$a_{l}^{k} \delta_{j}^{i}$

$\mathbf{A}_{10}$. $\mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{77}$. $\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{24}$. $\mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{232}$. $\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{650}$. $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{651}$. $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{720}$. $\mathbf{A}_{720} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{694}$. $\mathbf{A}_{694} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{684}$. $\mathbf{A}_{684} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 19 & 30 \\ 8 & 13 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 17 & 41 \\ 11 & 17 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{650}$. $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{651}$. $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{720}$. $\mathbf{A}_{720} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{694}$. $\mathbf{A}_{694} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{684}$. $\mathbf{A}_{684} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 19 & 30 \\ 8 & 13 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 17 & 41 \\ 11 & 17 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{726}$. $\mathbf{A}_{726} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 9 & 8 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 9 \\ 6 & 5 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 8 & 7 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{721}$. $\mathbf{A}_{721} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 8 \\ 4 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 8 & 2 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 6 & 8 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{723}$. $\mathbf{A}_{723} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{725}$. $\mathbf{A}_{725} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{720}$. $\mathbf{A}_{720} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{650}$. $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{722}$. $\mathbf{A}_{722} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{58}$. $\mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{207}$. $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$.

Доказать, что тензор $\varepsilon_{i_{1}} \ldots i_{n}$ (см. задачу 35. 21) кососимметричен по любой паре индексов.

Доказать, что тензор $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}}$ кососимметричен по любому подмножеству множества индексов.

Доказать, что тензор $\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ (см. задачу 35. 20) кососимметричен по любой паре верхних индексов.

Доказать, что тензор $\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ кососимметричен по любому подмножеству множества верхних индексов.

Доказать утверждение 4) для нижних индексов.

$\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}} a^{j_{1} \ldots j_{k}} = a^{\left[i_{1} \ldots i_{k}\right]}$;

$\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}} b_{i_{1} \ldots i_{k}} = b_{\left[j_{1} \ldots j_{k}\right]}$.

$\delta_{j}^{i} \delta_{l}^{j} \delta_{k}^{l} \delta_{i}^{k}$

$\delta_{j}^{i} \delta_{k}^{j} \delta_{l}^{k} \delta_{m}^{l}$

$\delta_{\left[i\right]^{i} \delta_{j}^{j} \delta_{k}}^{k}$

$\delta_{(i}^{i} \delta_{j}^{j} \delta_{k)}^{k}$

$\delta_{j}^{i} \delta_{i}^{j} \delta_{l}^{k} a_{k}^{l}$.

Пусть тензор симметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам тензора не меняет, а операция альтернирования дает нулевой тензор.

Пусть тензор антисимметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам дает нулевой тензор, а операция альтернирования тензора не меняет.

Доказать, что для симметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество

Доказать, что для антисимметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество

Тензор типа $(0, 3)$ симметричен по двум первым и симметричен по двум последним индексам. Доказать, что он симметричен также и по первому и третьему индексам.

Тензор типа $(0, 3)$ антисимметричен по двум первым и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он антисимметричен также и по первому и третьему индексам.

Пусть тензор типа $(0, 3)$ симметричен по двум первым индексам и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он нулевой.

Привести пример тензора типа $(0, 3)$, для которого $a_{\left[ijk\right]} = 0$, но не симметричного по трем индексам.

Привести пример тензора типа $(0, 3)$, для которого $a_{(ijk)} = 0$, но не антисимметричного по трем индексам.

Доказать, что для ненулевого тензора $a$ типа $(0, 3)$ возможно одновременное выполнение равенств $a_{(ijk)} = 0$ и $a_{\left[ijk\right]} = 0$.

$\mathbf{A}_{49}$. $\mathbf{A}_{49} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -8 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{16}$. $\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{234}$. $\mathbf{A}_{234} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{smallmatrix}\right]$.

$\delta_{kl}^{ij}$;

$\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ (см. задачи $35. 18, 35. 20$).

Пусть симметричный тензор $a$ типа $(0, 2)$ имеет в некотором базисе матрицу ранга $r$. Доказать, что существуют $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{r}$, таких, что $a = \sum_{\alpha = 1}^{r} \mathrm{f}_{\alpha } \otimes \mathrm{f}_{\alpha }$.

Сформулировать и доказать обратное утверждение.

Квадратичная функция $\varphi$ в $\mathcal{L}_{2}$ задана матрицей $\mathbf{A}_{56}$. Представить ее как сумму квадратов двух линейных функций. Единственно ли это представление? $\mathbf{A}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right]$.