Банк задач по математике

Задача 38.1

Функция $\mathrm{f}_{a}$ от двух векторов на трехмерном векторном пространстве сопоставляет любым векторам $x$ и $y$ смешанное произведение $(a, x, y)$ . Доказать, что $\mathrm{f}_{a}$ — $2$ -форма. Выразить ее матрицу в ортонормированном базисе через координаты вектора $a$ .

?

Задача 38.2

Найти связь между векторным произведением двух векторов и их внешним произведением.

?

Задача 38.3

(1)(2)(3)

Написать матрицу $2$ -формы $\omega$ в базисе $e$ пространства $\mathcal{L}_{4}$ , если дано ее выражение через $1$ -формы, составляющие базис, биортогональный е:

?

(1)

$\omega = \mathrm{f}^{1} \wedge \mathrm{f}_{2}$

(2)

$\omega = - \mathrm{f}_{1} \wedge \mathrm{f}^{3} + \mathrm{f}^{2} \wedge \mathrm{f}^{4}$

(3)

$\omega = \mathrm{f}^{1} \wedge \mathrm{f}^{2} + \mathrm{f}^{1} \wedge \mathrm{f}^{3} + \mathrm{f}^{1} \wedge \mathrm{f}^{4} + \mathrm{f}^{2} \wedge \mathrm{f}^{3} + \mathrm{f}^{3} \wedge \mathrm{f}^{4}$

Задача 38.4

(1)(2)(3)(4)

Найти внешнее произведение двух 1 — форм, заданных координатными строками:

?

(1)

$\mathbf{c}_{79}^{T}, \mathbf{c}_{75}^{T}$ . $\mathbf{c}_{79} = \left[\begin{smallmatrix} 20 \\ -2 \\ 42 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{75} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{c}_{95}^{T}, \mathbf{c}_{93}^{T}$ . $\mathbf{c}_{95} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -2 \\ -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{93} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{c}_{174}^{T}, \mathbf{c}_{166}^{T}$ . $\mathbf{c}_{174} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{c}_{156}^{T}, \mathbf{c}_{193}^{T}$ . $\mathbf{c}_{156} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{193} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.5

Найти внешнее произведение трех 1 — форм, заданных координатными строками:

?

(1)

$\mathbf{c}_{12}^{T}, \mathbf{c}_{13}^{T}, \mathbf{c}_{14}^{T}$ . $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{c}_{99}^{T}, \mathbf{c}_{52}^{T}, \mathbf{c}_{51}^{T}$ . $\mathbf{c}_{99} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{52} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{c}_{83}^{T}, \mathbf{c}_{124}^{T}, \mathbf{c}_{118}^{T}$ . $\mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{124} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{118} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -4 \\ 15 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{c}_{172}^{T}, \mathbf{c}_{154}^{T}, \mathbf{c}_{218}^{T}$ . $\mathbf{c}_{172} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{154} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 13 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{218} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{c}_{197}^{T}, \mathbf{c}_{198}^{T}, \mathbf{c}_{207}^{T}$ . $\mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{c}_{255}^{T}, \mathbf{c}_{256}^{T}, \mathbf{c}_{257}^{T}$ . $\mathbf{c}_{255} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{256} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{257} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.6

$2$ -форма задана матрицей, $1$ -форма задана координатной строкой. Найти их внешнее произведение.

?

(1)

$\mathbf{A}_{254}, \mathbf{c}_{81}^{T}$ . $\mathbf{A}_{254} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 3 & 5 \\ -3 & 0 & 2 \\ -5 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{81} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{254}, \mathbf{c}_{66}^{T}$ . $\mathbf{A}_{254} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 3 & 5 \\ -3 & 0 & 2 \\ -5 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{252}, \mathbf{c}_{93}^{T}$ . $\mathbf{A}_{252} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{93} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{499}, \mathbf{c}_{162}^{T}$ . $\mathbf{A}_{499} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 5 \\ -2 & -3 & -5 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{162} = \left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 0 \\ 3 \\ 6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{432}, \mathbf{c}_{204}^{T}$ . $\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.7

(1)(2)(3)(4)

Пусть $u, u_{1}, v$ и $w$ — внешние формы степеней соответственно $p, p, q$ и $r$ . Доказать, что:

?

(1)

$(\lambda u) \wedge v = \lambda (u\wedge v)$

(2)

$\left(u + u_{1}\right) \wedge v = u\wedge v + u_{1} \wedge v$

(3)

$(u\wedge v) \wedge w = u\wedge (v\wedge w)$

(4)

$u\wedge v = (- 1)^{pq} v\wedge u$ .

Задача 38.8

Доказать, что значение $q$ — формы на системе векторов $x_{1}, \ldots , x_{q}$ фактически зависит только от $q$ — вектора $x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{q}$ .

?

Задача 38.9

Пусть $\mathrm{f}^{1}, \ldots , \mathrm{f}^{p} - 1$ — формы. Найти значение $p$ — формы $\mathrm{f}^{1} \wedge \ldots \wedge \mathrm{f}^{p}$ на системе векторов $x_{1}, \ldots , x_{p}$ .

?

Задача 38.10

(1)(2)

$2$ -форма в $\mathcal{L}_{4}$ задана строкой ее существенных компонент $\varphi$ , а векторы $x$ и $y$ — координатными столбцами $\xi , \eta$ . Найти значение $2$ -формы на паре $x, y$ :

?

(1)

$\varphi = \mathbf{c}_{279}^{T}, \quad \xi = \mathbf{c}_{174}, \quad \eta = \mathbf{c}_{186}$ . $\mathbf{c}_{279} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{174} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{186} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\varphi = \mathbf{c}_{269}^{T}, \quad \xi = \mathbf{c}_{171}, \quad \eta = \mathbf{c}_{177}$ . $\mathbf{c}_{269} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{177} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.11

Доказать, что для линейной зависимости векторов $a_{1}, \ldots , a_{p}$ необходимо и достаточно, чтобы $a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{p} = 0$ .

?

Задача 38.12

(1)(2)

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис в $\mathcal{L}_{n}$ . Доказать, что:

?

(1)

бивекторы $e_{i} \wedge e_{j}$ для всех пар $i, j$ таких, что $i < j$ , образуют базис в пространстве бивекторов пространства $\mathcal{L}_{n}$ .

(2)

$p$ — векторы $e_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge e_{i_{p}}$ для всех сочетаний индексов $i_{1}, \ldots , i_{p}\left(i_{1} < \ldots < i_{p}\right)$ образуют базис в пространстве $p$ векторов пространства $\mathcal{L}_{n}$ .

Задача 38.13

Базису $\mathbf{e} = \left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)$ пространства $\mathcal{L}_{4}$ сопоставим базис $\varepsilon = \left(e_{1} \wedge e_{2}, e_{1} \wedge e_{3}, e_{1} \wedge e_{4}, e_{2} \wedge e_{3}, e_{2} \wedge e_{4}, e_{3} \wedge e_{4}\right)$ соответствующего пространства бивекторов, а базису $\mathbf{e}^{\prime }$ — аналогично построенный базис $\varepsilon^{\prime }$ . Найти матрицу перехода от $\varepsilon$ к $\varepsilon^{\prime }$ , если матрица перехода от $e$ к $e^{\prime }$ есть $S$ .

?

Задача 38.14

Внешнее произведение $u^{i_{1} \ldots i_{n - 1}}$ векторов $x_{1}, \ldots \ldots , x_{n - 1}$ из $\mathcal{L}_{n}$ имеет $n$ существенных компонент. Доказать, что при замене базиса в $\mathcal{L}_{n}$ с матрицей перехода $S$ строка $\mathbf{a} = \left(a^{1}, \ldots , a^{n}\right)$ из существенных компонент $a^{i} = u^{1}, \ldots , i - 1, i + 1, \ldots , n$ преобразуется по формуле $\mathbf{a}^{\prime } = \mathbf{a} S(\operatorname {det} S)^{ - 1}$ .

?

Задача 38.15

Используя результат задачи 38. 8, доказать, что линейное пространство $p$ — форм может быть отождествлено с сопряженным к линейному пространству $p$ — векторов.

?

Задача 38.16

Доказать, что в $\mathcal{L}_{3}$ каждый бивектор разложим.

?

Задача 38.17

Доказать, что для разложимости бивектора $u^{ij}$ в $\mathcal{L}_{4}$ необходимо и достаточно выполнение равенства $u^{12} u^{34} - u^{13} u^{24} + u^{14} u^{23} = 0$

?

Задача 38.18

(1)(2)(3)

Пусть $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и $a_{4}$ — линейно независимые векторы. Разложимы ли бивекторы:

?

(1)

$a_{1} \wedge a_{2} + a_{3} \wedge a_{4}$

(2)

$a_{3} \wedge a_{2} + a_{1} \wedge a_{4} + a_{1} \wedge a_{2}$

(3)

$a_{1} \wedge a_{2} + a_{3} \wedge a_{4} + a_{3} \wedge a_{2} + a_{1} \wedge a_{4}$ ?

Задача 38.19

(1)(2)(3)(4)

Разложим ли бивектор в $\mathcal{L}_{4}$ , задаваемый в некотором базисе столбцом существенных компонент а:

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{279}$ . $\mathbf{c}_{279} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{269}$ . $\mathbf{c}_{269} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{278}$ . $\mathbf{c}_{278} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{281}$ ? $\mathbf{c}_{281} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \\ 4 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.20

Доказать, что подпространство, порождаемое $p$ вектором, имеет размерность $r \leqslant p$ , причем равенство достигается для разложимых $p$ — векторов и только для них.

?

Задача 38.21

(1)(2)

?

(1)

Пусть разложимый бивектор в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ имеет компоненты $u^{ij}$ . Доказать, что векторы $l^{i} = u^{ij} e_{j}$ лежат в пространстве, порождаемом этим бивектором.

(2)

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для разложимых $p$ — векторов.

Задача 38.22

Может ли размерность подпространства, порождаемого бивектором в пространстве $\mathcal{L}_{4}$ , равняться 1? 3?

?

Задача 38.23

(1)(2)(3)(4)

В некотором базисе пространства $\mathcal{L}_{4}$ бивектор $u$ определен столбцом существенных компонент а. Найти линейное подпространство, порождаемое этим бивектором:

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{279}$ . $\mathbf{c}_{279} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{269}$ . $\mathbf{c}_{269} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{278}$ . $\mathbf{c}_{278} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}_{280}$ . $\mathbf{c}_{280} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.24

Доказать, что разложимый $p$ — вектор, определяющий подпространство $\mathcal{L}_{p}$ , может быть найден по этому подпространству с точностью до числового множителя.

?

Задача 38.25

(1)(2)(3)

Подпространство $\mathcal{L}_{2}$ в пространстве $\mathcal{L}_{4}$ задано системой линейных уравнений с матрицей $A$ . Найти компоненты бивектора, определяющего $\mathcal{L}_{2}$ :

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{502}$ . $\mathbf{A}_{502} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 7 & -3 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{503}$ . $\mathbf{A}_{503} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{506}$ . $\mathbf{A}_{506} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -4 & 7 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.26

(1)(2)

Подпространства $\mathcal{L}_{1}$ и $\mathcal{L}_{2}$ в пространстве $\mathcal{L}_{4}$ порождены соответственно вектором $x$ и бивектором $u$ . Вектор задан координатным столбцом $\xi$ , а бивектор — столбцом существенных компонент $\mathbf{a}$ . Проверить, что $\mathcal{L}_{1} \subset \mathcal{L}_{2}$ , и найти такой вектор $y$ , что $u = x\wedge y$ :

?

(1)

$\xi = \left[\begin{smallmatrix} - 2\\ 6\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 10\\ 1\\ 3\\ 2\\ - 4\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\xi = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ 2\\ 4\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.27

(1)(2)

Подпространства $\mathcal{L}_{1}$ и $\mathcal{L}_{2}$ в пространстве $\mathcal{L}_{4}$ порождены соответственно вектором $x$ и бивектором $u$ . Вектор задан координатным столбцом $\xi$ , а бивектор — столбцом существенных компонент $\mathbf{a}$ . Проверить, что $\mathcal{L}_{1} \cap \mathcal{L}_{2} = \left\{ o\right\}$ , и найти 3 — вектор, порождающий $\mathcal{L} = \mathcal{L}_{1} \oplus \mathcal{L}_{2}$ . Найти уравнение подпространства $\mathcal{L}$ :

?

(1)

$\xi = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 2\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ 2\\ 4\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\xi = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 9\\ 5\\ 1\\ 4\\ - 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.28

Пусть $1$ -формы $\mathrm{f}^{1}, \ldots , \mathrm{f}^{k}$ линейно независимы и для 1 — форм $g^{1}, \ldots , g^{k}$ выполнено равенство $\mathrm{f}^{1} \wedge g^{1} + \ldots \ldots + \mathrm{f}^{k} \wedge g^{k} = 0$ . Доказать, что $g^{i} = \sum_{j = 1}^{k} a^{ij} \mathrm{f}^{j}$ для всех $i = 1, \ldots , k$ , причем $a^{ij} = a^{ji}$ (лемма Картана).

?

Задача 38.29

(1)(2)(3)(4)

$1$ -формы $\mathrm{f}^{1}, \mathrm{f}^{2}$ и $g^{1}$ заданы координатными строками $\varphi^{1}, \varphi^{2}, \xi^{1}$ . Существует ли такая $1$ -форма $g^{2}$ , что $\mathrm{f}^{1} \wedge g^{1} + \mathrm{f}^{2} \wedge g^{2} = 0$ ? Найти все такие формы, если они существуют:

?

(1)

$\varphi^{1} = \mathbf{c}_{172}^{T}, \varphi^{2} = \mathbf{c}_{173}^{T}, \quad \xi^{1} = \mathbf{c}_{166}^{T}$ . $\mathbf{c}_{172} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{173} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\varphi^{1} = \mathbf{c}_{197}^{T}, \varphi^{2} = c_{185}^{T}, \quad \xi^{1} = c_{166}^{T}$ . $\mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\varphi^{1} = \mathbf{c}_{166}^{T}, \varphi^{2} = \mathbf{c}_{228}^{T}, \quad \xi^{1} = \mathbf{c}_{227}^{T}$ . $\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{228} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\varphi^{1} = \mathbf{c}_{171}^{T}, \varphi^{2} = \mathbf{c}_{186}^{T}, \quad \xi^{1} = \mathbf{c}_{193}^{T}$ . $\mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{186} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{193} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 38.30

Доказать, что для каждой $2$ -формы $\omega$ существует базис $\mathrm{f}^{1}, \ldots , \mathrm{f}^{n}$ в пространстве 1 — форм такой, что форма $\omega$ имеет канонический вид $\omega = \mathrm{f}^{1} \wedge \mathrm{f}^{2} + \mathrm{f}^{3} \wedge \mathrm{f}^{4} + \ldots + \mathrm{f}^{2p - 1} \wedge \mathrm{f}^{2p} (2p \leqslant n)$ .

?

Задача 38.31

(1)(2)(3)(4)

$2$ -форма задана своей матрицей в некотором базисе. Привести ее к каноническому виду, описанному в задаче 38. 30:

?

(1)

$\mathbf{A}_{250}$ . $\mathbf{A}_{250} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{439}$ . $\mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{490}$ . $\mathbf{A}_{490} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{499}$ . $\mathbf{A}_{499} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 5 \\ -2 & -3 & -5 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Поливекторы и внешние формы