В задачах 6.45-6.92 система координат прямоугольная

Найти нормальный вектор плоскости:

Составить уравнения прямой, проходящей через точ — ку $A(1, - 1, 2)$ и перпендикулярной плоскости:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1, 3, 1)$ и перпендикулярной прямой:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(2, 1, - 1)$ и перпендикулярной двум плоскостям: $x - y + 5z + 1 = 0$ и $2x + y = 3$.

Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости $x + 3y - z + 2 = 0$ и проходящей через прямую:

В пучке, определяемом плоскостями $x + 2y - 3z + 5 = 0$ и $4x - y + 3z + 5 = 0$, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку $M(1, 3, 1)$.

Точка $A$ лежит на прямой $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{ - 1}$, причем $A$ равноудалена от точек $B(3, 0, - 2)$ и $C(- 1, 1, 5)$. Найти координаты точки $A$.

Найти расстояние от точки $A(3, 1, - 1)$ до плоскости:

Найти расстояние между параллельными плоскостями:

Точка $A$ лежит на прямой $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{1}$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $x + y + z + 3 = 0$ равно $\sqrt{3}$. Найти координаты точки $A$.

Точка $A$ лежит на прямой $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{ - 5}$, причем $A$ равноудалена от точки $B(0, 1, 1)$ и от плоскости $2x - y + 2z + 1 = 0$. Найти координаты точки $A$.

Точки $A(1, - 1, 2)$ и $B(3, 0, 4)$ являются вершинами куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Вектор $\overrightarrow {AD}$ перпендикулярен прямой $x = 0, y - z = 0$, а ориентация тройки векторов $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD}$. $\overrightarrow {AA_{1}}$ совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат, причем сумма координат вектора $\overrightarrow {AA_{1}}$ отрицательна. Составить уравнения граней куба.

Точки $A(- 3, 0, 0)$ и $B(3, 0, 0)$ являются вершинами правильного тетраэдра $ABCD$, вершина $C$ удалена от координатной плоскости $Oxy$ на расстояние $3\sqrt{2}$, причем все координаты точки $C$ неотрицательны. Ориентация тройки векторов $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}$ совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат. Составить уравнения граней тетраэдра.

Дана точка $A(3, - 1, 1)$. Найти:

Составить уравнения прямой, симметричной прямой $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{4}$ относительно плоскости $5x - y + z - 4 = 0$.

Составить уравнения проекций на плоскость $x + 5y - - z - 25 = 0$ следующих прямых:

Найти угол между плоскостями:

Найти угол между прямыми:

Найти угол между плоскостью $4x + 4y - 7z + 1 = 0$ и прямой:

Составить уравнения прямой, проходящей через точку $A(1, 3, 2)$ параллельно плоскости $Oxy$ и образующей:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(- 1, 2, 1)$ параллельно прямой $\frac{x}{2} = - \frac{y}{3} = - z$ и образующей угол $60^{\circ }$ с прямой $x = y, z = 0$.

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую $x + 5y + z = 0, \quad x - z + 4 = 0$ и образующей угол $45^{\circ } \mathrm{c}$ плоскостью $x - 4y - 8z + 1 = 0$.

Доказать, что две данные прямые пересекаются, и составить уравнения биссектрис острого и тупого углов между ними:

Боковые стороны равнобедренного треугольника имеют общую вершину $A(3, 4, 5)$, две другие вершины лежат на осях $Ox$ и $Oy$, а плоскость треугольника параллельна оси $Oz$. Найти углы треугольника и составить уравнение его плоскости.

Даны точка $A(2, - 1, 0)$ и прямая $l$. Вычислить расстояние от точки $A$ до прямой $l$; найти координаты проекции точки $A$ на $l$ и координаты точки $B$, симметричной с $A$ относительно $l$; составить уравнения прямой, проходящей через точку $A$ и пересекающей данную прямую под прямым углом («опустить перпендикуляр» из точки $A$ на $l$). Прямая $l$ задана уравнениями:

Точка $A$ лежит на прямой $x - y - 3 = 0, 2y + z = 0$. Расстояние от точки $A$ до прямой $x = y = z$ равно $\sqrt{6}$. Найти координаты точки $A$.

Найти расстояние между прямыми:

Даны прямые $l_{1}$ и $l_{2}$. Составить уравнения их общего перпендикуляра (т. е. прямой, пересекающей $l_{1}$ и $l_{2}$ под прямым углом); найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислить расстояние между $l_{1}$ и $l_{2}$. Прямые заданы уравнениями:

Точки $A(- 1, - 3, 1), B(5, 3, 8), C(- 1, - 3, 5), D(2$, $1, - 4)$ являются вершинами тетраэдра. Найти:

Длина ребра куба $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равна 1. Найти:

Три грани $ABCD, ABB_{1} A_{1}$ и $ADD_{1} A_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежат соответственно в плоскостях $2x + 3y + 4z + 8 = 0, x + 3y - 6 = 0, z + 5 = 0$; вершина $C_{1}$ имеет координаты $6, - 5, 1$. Найти:

Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы тот из четырех двугранных углов, образованных двумя пересекающимися не перпендикулярными плоскостями $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$, который содержит точку $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, был:

Даны две плоскости $x + 2y + 2z = 0$ и $7x + 4y + 4z = 0$. Третья плоскость $m$ проходит через начало координат $O$ так, что конец ее нормального вектора, отложенного из точки $O$, лежит в тупом двугранном угле, образованном данными плоскостями. Косинусы острых двугранных углов между $m$ и данными плоскостями равны $2 / 15$ и 4 / 45 соответственно. Составить уравнение плоскости $m$.

Рассматривается тот двугранный угол между плоскостями $x - 2y + z + 3 = 0$ и $x + y + 2z = 1$, внутри которого лежит точка $A(- 1, 0, 0)$. Доказать, что множеством точек, лежащих внутри этого угла и удаленных от данных плоско — стей соответственно на расстояния $\sqrt{6}$ и $2\sqrt{6}$, является прямая. Составить уравнения этой прямой.

Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями $x - z - 5 = 0$ и $3x + 5y + 4z = 0$, внутри которого лежит точка $A(1, 1, 1)$.

Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями $x - z - 5 = 0$ и $3x + 5y + 4z = 0$.

Грани тетраэдра заданы уравнениями $x + 2y - 2z + 3 = 0, 4x - 4y + 7z - 9 = 0, 8x + 4y + z - 3 = 0, y - z = 0$. Составить уравнения:

Вершинами тетраэдра являются точки $A(1, 2, 3)$, $B(- 2, 8, 9), C(5, 0, 7), D(3, 4, 2)$. Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной сфер.

Найти радиус и координаты центра сферы, проходящей через точку $A(0, 1, 0)$ и касающейся плоскостей $x + y = 0$, $x - y = 0, \quad x + y + 4z = 0$.

Найти координаты центра $O$ и радиус $r$ сферы, касающейся плоскостей $5x - y + z - 17 = 0$ и $x + y - z + 11 = 0$ и проходящей через точки $A(- 7, - 1, - 1)$ и $B(1, 1, 1)$.

Найти координаты центра $O$ и радиус $r$ сферы, касающейся плоскости $x + 5y + z - 33 = 0$ и проходящей через точки $A(2, 3, - 2), B(- 2, 3, 4)$ и $C(0, - 1, 2)$.

Вершинами треугольника являются точки $A(1, 2, 3)$, $B(1, 5, - 1), C(5, 3, - 5)$. Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей.

Доказать, что три плоскости $x - 2y + 2z + 3 = 0$, $2x + 2y + z - 6 = 0, 5x + 14y - 2z - 21 = 0$ не имеют общих точек, но три прямые, образованные при пересечении каждой пары этих плоскостей, параллельны, т. е. плоскости образуют призму. Найти радиус и уравнения оси прямой круговой цилиндрической поверхности:

В правильной четырехугольной пирамиде $SMNPQ (S$ — вершина) точки $H$ и $F$ — середины ребер $MN$ и $NP$ co — ответственно. Точка $E$ лежит на отрезке $SH$, причем $\left|SH\right| = 3$, $\left|SE\right| = 9 / 4$. Расстояние от точки $S$ до прямой $EF$ равно $\sqrt{5}$. Найти объем пирамиды.

В основании прямой призмы $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит ромб $ABCD$ с углом $\angle A = 60^{\circ }$. Длина стороны основания призмы равна $a$, длина бокового ребра равна $\sqrt{3} a$. Точка $E$ является ортогональной проекцией верпины $C_{1}$ на плоскость $AB_{1} D_{1}$, а точка $F$ — ортогональной проекцией точки $E$ на плоскость $AA_{1} D_{1} D$. Найти объем пирамиды $ADEF$.

В правильной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ длина бокового ребра равна 3. Точка $M$ — середина ребра $AC$, точка $N$ лежит на ребре $B_{1} C_{1}$, а точка $P$ принадлежит грани $AA_{1} B_{1} B$ и удалена от плоскости $ABC$ на расстояние 1. Известно, что угол в $30^{\circ }$ образуют каждая из прямых $PM$ и $PN$ с плоскостью $AA_{1} B_{1} B$ и прямая $PN$ с плоскостью $BB_{1} C_{1} C$. Найти объем призмы.

В правильной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ длина стороны основания равна $2a$, длина бокового ребра равна $a$. Через вершину $A$ проведена плоскость перпендикулярно прямой $AB_{1}$, через вершину $B$ — плоскость перпендикулярно прямой $BC_{1}$ и через вершину $C$ — плоскость перпендикулярно прямой $CA_{1}$. Найти объем многогранника, ограниченного этими тремя плоскостями и плоскостью $A_{1} B_{1} C_{1}$.