Замена системы координат (6.93-6.97)

Даны две системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }$, $\mathbf{e}_{2}^{\prime }, \mathbf{e}_{3}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $a_{10}, a_{20}, a_{30}$, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты $\left(a_{11}, a_{21}, a_{31}\right)$, $\left(a_{12}, a_{22}, a_{32}\right), \left(a_{13}, a_{23}, a_{33}\right)$ соответственно. В первой системе координат плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Составить уравнение этой плоскости во второй системе.

В пространстве даны четыре точки $A(1, 2, 1)$, $B(- 1, 3, 0), C(2, 5, 3), D(- 2, 3, 4)$ и плоскость $2x + y - 3z + 2 = 0$. Составить уравнение этой плоскости в новой системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}$.

Плоскости $x - 2y + 3z - 6 = 0, 2x + y - z = 0, 4x + z - - 5 = 0$ являются соответственно плоскостями $O^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }, O^{\prime } z^{\prime } x^{\prime }$, $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$ новой системы координат, а точка $A(2, 0, 1)$ имеет в новой системе координаты $1, 1, 1$.

В прямоугольной системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ плоскость задана уравнением $3x + 5y + \sqrt{2} z + \sqrt{2} = 0$. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке $O^{\prime }(1, 1, - 1)$, базисный вектор $\mathbf{e}_{3}^{\prime }$ противоположен вектору $\mathbf{e}_{3}$, а базисные векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом в содержащей $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ плоскости на угол $45^{\circ }$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1} \mathrm{~ K}_{2}$.

Три плоскости, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями $x + 2y - 2z + 3 = 0, 2x + y + 2z = 0$, $2x - 2y - z + 3 = 0$ (проверить, что они попарно перпендикулярны), являются соответственно плоскостями $O^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }, O^{\prime } z^{\prime } x^{\prime }$, $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$ новой прямоугольной системы координат, а точка $A(- 1, 0, 0)$ имеет в новой системе положительные координаты.