Банк задач по математике

Задача 8.1

Составить уравнение касательной к кривой:

?

(1)

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ в точке $(3, 1)$

(2)

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ в точке $(3, - 3)$

(3)

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ в точке $(- 3, 0)$

(4)

$\frac{x^{2}}{32} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ в точке $(6, 1)$

(5)

$xy = 8$ в точке $(4, 2)$

(6)

$y^{2} = 6x$ в точке $(3 / 2, 3)$ .

Задача 8.2

(1)(2)(3)(4)

Составить уравнение касательной к кривой:

?

(1)

$\frac{(x - \alpha )^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - \beta )^{2}}{b^{2}} = 1$

(2)

$\frac{(x - \alpha )^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - \beta )^{2}}{b^{2}} = 1$

(3)

$xy = k$

(4)

$(y - \beta )^{2} = 2p(x - \alpha )$ в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ , принадлежащей данной кривой.

Задача 8.3

При каком необходимом и достаточном условии прямая $Ax + By + C = 0$ касается:

?

(1)

эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ;

(2)

гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(3)

гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$ ;

(4)

гиперболы $xy = k$

(5)

параболы $y^{2} = 2px?$

Задача 8.4

При каком необходимом и достаточном условии вектор $\mathbf{l}(\alpha , \beta )$ является направляющим вектором некоторой касательной к гиперболе $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ?

?

Задача 8.5

(1)(2)(3)(4)

Проверить, что данная прямая касается данной кривой, и найти координаты точки касания:

?

(1)

$3x - 2y - 24 = 0, \frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

(2)

$3x - y - 12 = 0, \frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

(3)

$3x - 16y + 24 = 0, \quad xy = - 3$

(4)

$x + y + 1 = 0, y^{2} = 4x$ .

Задача 8.6

(1)(2)(3)

Составить уравнения касательных к эллипсу $\frac{x^{2}}{30} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

?

(1)

параллельных прямой $2x - y - 1 = 0$

(2)

перпендикулярных этой же прямой

(3)

образующих угол $45^{\circ }$ с прямой $x + 3y + 3 = 0$ .

Задача 8.7

(1)(2)(3)

Составить уравнения касательных к гиперболе $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ , параллельных прямой:

?

(1)

$4x = 3y$

(2)

$x = 1$

(3)

$x - 2y + 1 = 0$ .

Задача 8.8

(1)(2)(3)

Составить уравнение касательной к параболе $y^{2} = 10x$ , перпендикулярной прямой:

?

(1)

$2x + y - 4 = 0$

(2)

$y = 3$

(3)

$x = 0$ .

Задача 8.9

Какие точки на данной кривой второго порядка удалены на наименьшее расстояние от данной прямой? Найти это расстояние.

?

(1)

$\frac{27}{28} x^{2} + \frac{9}{7} y^{2} = 1, 3x + 4y + 5 = 0$

(2)

$\frac{27}{28} x^{2} + \frac{9}{7} y^{2} = 1, 3x + 4y = 0$

(3)

$6x^{2} - 5y^{2} = 19, 12x + 5y - 6 = 0$

(4)

$6x^{2} - 5y^{2} = 19, 12x + 5y = 0$

(5)

$y^{2} = 64x, 4x - 3y - 76 = 0$ .

Задача 8.10

(1)(2)

Дан эллипс $x^{2} + 2y^{2} = 1$ . Найти расстояния:

?

(1)

от фокусов эллипса до касательной к нему в точке $A(1 / 3, 2 / 3)$

(2)

между касательными к эллипсу, параллельными прямой $x + y = 1$ .

Задача 8.11

(1)(2)

Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, если он:

?

(1)

содержит точку $A(- 3, 2)$ и касается прямой $4x - 6y - - 25 = 0$

(2)

касается прямых $x + y - 5 = 0$ и $x + 4y - 10 = 0$ .

Задача 8.12

(1)(2)

Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если она: $+ 8 = 0$

?

(1)

содержит точку $A(4, - 2\sqrt{2})$ и касается прямой $3x + y +$

(2)

касается прямых $x = 1$ и $5x - 2y + 3 = 0$ .

Задача 8.13

Составить уравнение гиперболы с асимптотами $\sqrt{3} x\pm y = 0$ , касающейся прямой $2x - y - 3 = 0$ .

?

Задача 8.14

(1)(2)

Составить уравнение параболы:

?

(1)

симметричной относительно оси $Oy$ и касающейся прямых $y + 2x = 0, \quad 8x - 2y - 3 = 0$

(2)

заданной каноническим уравнением и касающейся прямой $x + y + 1 = 0$ .

Задача 8.15

Составить уравнения нормалей к эллипсу $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ , образующих угол $45^{\circ }$ с его большой осью.

?

Задача 8.16

Составить уравнение касательной к параболе $y^{2} = - 8x$ , отрезок которой между точкой касания и директрисой делится осью Оу пополам.

?

Задача 8.17

Пусть $O$ — вершина параболы, $M$ — произвольная ее точка, $l_{1}$ и $l_{2}$ — касательные к параболе в точках $O$ и $M$ , $N$ — точка пересечения прямых $l_{1}$ и $l_{2}, P$ — проекция отрезка $OM$ на $l_{1}$ . Доказать, что точка $N$ делит отрезок $OP$ пополам. Указать вытекающий отсюда способ построения касательной к параболе.

?

Задача 8.18

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам

(2)

все треугольники, образованные асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь через полуоси гиперболы.

Задача 8.19

Доказать, что хорда, соединяющая точки касания эллипса (гиперболы) двумя параллельными прямыми, проходит через центр кривой.

?

Задача 8.20

Доказать, что середины хорд эллипса (гиперболы), параллельных некоторой прямой $l_{1}$ , лежат на одной прямой $l_{2}$ . При этом касательные к кривой в точках ее пересечения с прямой $l_{2}$ параллельны прямой $l_{1}$ .

?

Задача 8.21

Составить уравнения сторон квадрата, описанного около эллипса $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .

?

Задача 8.22

(1)(2)

Составить уравнения сторон правильного треугольника, описанного около эллипса $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ , если:

?

(1)

одна из вершин треугольника лежит на оси $Ox$

(2)

одна из вершин треугольника лежит на оси $Oy$ .

Задача 8.23

(1)(2)(3)

При каком необходимом и достаточном условии через точку $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ можно провести две касательные:

?

(1)

к эллипсу $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(2)

к гиперболе $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(3)

к параболе $y^{2} = 2px$ ?

Задача 8.24

(1)(2)(3)(4)

Составить уравнения касательных к эллипсу $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ , проходящих через точку:

?

(1)

$(- 6, 0)$

(2)

$(2, 7; \sqrt{7})$

(3)

$\left(- 4, - \frac{2}{3} \sqrt{2}\right)$

(4)

$(1, 2)$

Задача 8.25

Составить уравнения касательных к гиперболе $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ , проходящих через точку:

?

(1)

$(- 2, 2)$

(2)

$(1, 6; 0)$

(3)

$(4, \sqrt{3})$

(4)

$(4, 1)$

(5)

$(8, 4)$

(6)

$(0, 0)$

Задача 8.26

(1)(2)(3)

Составить уравнения касательных к параболе $y^{2} = 16x$ , проходящих через точку:

?

(1)

$(1, - 2)$

(2)

$(1, 4)$

(3)

$(1, 5)$

Если этих касательных две, то вычислить площадь треугольника, образованного касательными и директрисой.

Задача 8.27

(1)(2)(3)

Через точку $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ проведены две касательные к кривой второго порядка. Доказать, что прямая, проходящая через точки касания, задается уравнением:

?

(1)

$\frac{xx_{0}}{a^{2}} + \frac{yy_{0}}{b^{2}} = 1$ для эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(2)

$\frac{xx_{0}}{a^{2}} - \frac{yy_{0}}{b^{2}} = 1$ для гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(3)

$yy_{0} = p\left(x + x_{0}\right)$ для параболы $y^{2} = 2px$ .

Задача 8.28

Составить уравнения общих касательных к двум кривым второго порядка:

?

(1)

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ и $\frac{x^{2}}{80} + \frac{4y^{2}}{5} = 1$

(2)

$\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ и $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

(3)

$\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ и $y^{2} = 2x$

(4)

$\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ и $y^{2} = 2x$

(5)

$y^{2} = 2x$ и $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = - 1$

(6)

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ и $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

(7)

$y^{2} = \frac{8}{9} x$ и $y^{2} = x - 1$ .

Задача 8.29

(1)(2)(3)

Доказать, что:

?

(1)

нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса

(2)

касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы гиперболы

(3)

нормаль к параболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучом, выходящим из этой точки и проходящим через фокус параболы, и лучом, выходящим из этой точки, лежащим внутри параболы и параллельным ее оси.

Задача 8.30

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

касательные в точках пересечения эллипса и гиперболы, имеющих общие фокусы, взаимно перпендикулярны

(2)

касательные в точках пересечения двух парабол с общим фокусом и противоположно направленными осями взаимно перпендикулярны.

Задача 8.31

Из произвольной точки директрисы кривой второго порядка проведены две касательные к этой кривой. Доказать, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через фокус, соответствующий этой директрисе.

?

Задача 8.32

(1)(2)(3)

Составить уравнения касательных к кривой $6xy + 8y^{2} - 12x - 26y + 11 = 0$ :

?

(1)

параллельных прямой $6x + 17y - 4 = 0$

(2)

перпендикулярных прямой $41x - 24y + 3 = 0$

(3)

параллельных прямой $y = 2$ .

Задача 8.33

(1)(2)(3)

Составить уравнения касательных к кривой $5x^{2} + 6xy + 5y^{2} - 16x - 16y - 16 = 0$ , проходящих через точку:

?

(1)

$(3, 3)$

(2)

$(0, - 0, 8)$

(3)

$(0, 1)$ .

Касательные к кривым второго порядка