Банк задач по математике

Задача 9.1

Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

?

(1)

$6x^{2} + 6y^{2} + 6x - 2y - 1 = 0$

(2)

$9x^{2} - 16y^{2} - 6x + 8y - 144 = 0$

(3)

$9x^{2} + 4y^{2} + 6x - 4y - 2 = 0$

(4)

$12x^{2} - 12x - 32y - 29 = 0$

(5)

$9y^{2} - 7y - 16 = 0$

(6)

$2x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 11 = 0$

(7)

$2x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 12 = 0$

(8)

$4x^{2} - 25y^{2} - 2x - 75y + 44 = 0$

(9)

$25x^{2} - 30x + 9 = 0$

(10)

$45x^{2} - 36y^{2} - 90x - 24y + 41 = 0$ .

Задача 9.2

(1)(2)

При каком необходимом и достаточном условии уравнение $Ax^{2} + By^{2} + 2Cx + 2Dy + E = 0$ задает:

?

(1)

эллипс

(2)

гиперболу?

Задача 9.3

Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

?

(1)

$2x^{2} + 6xy + 10y^{2} - 121 = 0$

(2)

$9xy + 4 = 0$

(3)

$2x^{2} - 2\sqrt{3} xy + 9 = 0$

(4)

$18x^{2} + 24xy + 11y^{2} - 3 = 0$

(5)

$x^{2} - 2xy + y^{2} + 2x + 2y = 0$

(6)

$9x^{2} - 6xy + y^{2} - 10 = 0$

(7)

$81x^{2} - 36xy + 4y^{2} = 0$

(8)

$3x^{2} - 4\sqrt{5} xy + 4y^{2} = 0$ .

Задача 9.4

Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

?

(1)

$2x^{2} - 4xy + 5y^{2} + 8x - 2y + 9 = 0$

(2)

(р) $4xy - 3y^{2} - 4x + 10y - 6 = 0$

(3)

$9x^{2} - 24xy + 16y^{2} - 8x + 19y + 4 = 0$

(4)

$x^{2} - xy + y^{2} + x + y = 0$

(5)

$xy + 2x + y = 0$

(6)

$x^{2} - 2xy + y^{2} - 10x - 6y + 25 = 0$

(7)

$5x^{2} + 12xy + 10y^{2} - 6x + 4y - 1 = 0$

(8)

$8x^{2} + 34xy + 8y^{2} + 18x - 18y - 17 = 0$

(9)

$25x^{2} - 30xy + 9y^{2} + 68x + 19 = 0$

(10)

$8x^{2} + 6xy + 6x + 3y + 1 = 0$

(11)

$4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 8x - 12y - 5 = 0$

(12)

$225x^{2} - 240xy + 64y^{2} + 30x - 16y + 1 = 0$

(13)

$x^{2} + 2xy + y^{2} - 5x - 5y + 4 = 0$

(14)

$5x^{2} - 6xy + 5y^{2} + 2x - 14y + 13 = 0$

(15)

$x^{2} - 2xy + y^{2} + 8x - 8y + 22 = 0$

(16)

$15x^{2} + 24xy + 15y^{2} + 30x - 24y - 20 = 0$

(17)

$15x^{2} - 16xy - 15y^{2} - 62x - 44y - 13 = 0$ .

Задача 9.5

Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением $34x^{2} + 24xy + 41y^{2} - 44x + 58y + 1 = 0$ , является эллип — сом. Найти длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей и директрис.

?

Задача 9.6

Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением $7x^{2} + 48xy - 7y^{2} - 62x - 34y + 98 = 0$ , является гиперболой. Найти длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей, директрис и асимптот.

?

Задача 9.7

Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением $x^{2} + 2xy + y^{2} + x = 0$ , является параболой. Найти параметр этой параболы, координаты вершины и фокуса, составить уравнения оси и директрисы.

?

Задача 9.8

Пусть $M(x, y) = Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F$ — многочлен второй степени от координат $(x, y)$ точки в прямоугольной системе координат. Обозначим

S = A + C, \quad \delta =\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ B & C\end{smallmatrix}\right], \quad \Delta =\left[\begin{smallmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{smallmatrix}\right].

Доказать, что величины $S, \delta , \Delta$ не изменяются при переходе к другой прямоугольной системе координат (т. е. являются ортогональными инвариантами многочлена $M(x, y))$ .

?

Задача 9.9

(1)(2)(3)(4)

Кривая второго порядка в прямоугольной системе координат задана уравнением $Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$ . Доказать следующие утверждения (обозначения см. в задаче 9. 8):

?

(1)

Корни $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ характеристического уравнения $\lambda^{2} - S\lambda + \delta = 0$ вещественны, и хоть один из них отличен от нуля.

(2)

Кривая является гиперболой тогда и только тогда, когда $\delta < 0$ и $\Delta \neq 0$ . Выразить полуоси гитерболы через $\delta , \Delta , \lambda_{1}, \lambda_{2}$ .

(3)

Кривая является эллипсом тогда и только тогда, когда $\delta > 0$ , а $S\Delta < 0$ . Выразить полуоси эллипса через $\delta , \Delta , \lambda_{1}, \lambda_{2}$ .

(4)

Кривая является параболой тогда и только тогда, когда $\delta = 0$ , а $\Delta \neq 0$ . Выразить параметр параболы через $S$ и $\Delta$ .

Задача 9.10

(1)(2)(3)

Применяя ортогональные инварианты (задачи 9. 8 и 9. 9), определить тип и составить каноническое уравнение кривой:

?

(1)

$x^{2} + 3xy - 3y^{2} + 5x - 7y + 1 = 0$

(2)

$5x^{2} + 2xy + 5y^{2} - 12x + 20y + 32 = 0$

(3)

$x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 2x + 13 = 0$ .

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (9.1-9.10)