Банк задач по математике

Задача 9.11

Доказать, что:

?

(1)

кривая, заданная уравнением $x^{2} + y^{2} = 1$ , является эллипсом

(2)

кривая, заданная уравнением $x^{2} - y^{2} = 1$ , является гиперболой

(3)

кривая, заданная уравнением $y^{2} = x$ , является параболой

(4)

уравнение $x^{2} - y^{2} = 0$ задает пару пересекающихся прямых

(5)

уравнение $x^{2} + y^{2} = 0$ задает одну точку

(6)

уравнение $y^{2} - 1 = 0$ задает пару параллельных прямых

(7)

уравнение $y^{2} = 0$ задает одну прямую (пару совпавших прямых)

(8)

кривая, заданная уравнением $xy = 1$ , является гиперболой

(9)

кривая, заданная уравнением $y = x + \frac{1}{x}$ , является гиперболой.

Задача 9.12

Доказать, что кривая, заданная в общей декартовой системе координат уравнением $Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$ , является гиперболой тогда и только тогда, когда $\delta < 0$ и $\Delta \neq 0$ , эллипсом тогда и только тогда, когда $\delta > 0$ и $S\Delta < 0$ , параболой тогда и только тогда, когда $\delta = 0$ и $\Delta \neq 0$ .

?

Задача 9.13

Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением:

?

(1)

$(3x - 4y)^{2} - 5(x + 2y - 1)^{2} = 1$

(2)

$(12x - 17y - 6)^{2} + (17y + 5x + 1)^{2} = 1$

(3)

$(x - y - 3)(x + y + 3) = 4$

(4)

$(4x + 3y - 1)^{2} + (4x + 3y + 2)^{2} = 5$

(5)

$17x^{2} - 2xy + y^{2} - 3x - y - 3 = 0$

(6)

$4x^{2} + 28xy + 49y^{2} - 3x - 15y + 2 = 0$

(7)

$4x^{2} - 12xy + 8y^{2} - 15x + 25y + 14 = 0$

(8)

$2x^{2} + 2xy + 5y^{2} - 2y + 4 = 0$

(9)

$2x^{2} - 5xy - 3y^{2} + 9x + y + 4 = 0$

(10)

$x^{2} + 10xy + 25y^{2} + 2x + 10y - 3 = 0$

(11)

$5x^{2} - 16xy + 13y^{2} + 6x - 10y + 2 = 0$

(12)

$x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 4x - 8y + 5 = 0$

(13)

$x^{2} - 8xy + 16y^{2} + 6x - 24y + 9 = 0$ .

Задача 9.14

Составить уравнение и определить тип кривой второго порядка, проходящей через 5 точек, заданных своими координатами:

?

(1)

$(- 1, - 1), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(2)

$(1, 1), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(3)

$(- 1, 0), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(4)

$(- 3, 0), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(5)

$(- 1, 1), (0, 1), (2, 3), (- 2, - 1), (3, 4)$

(6)

$(1, 0), (0, 1), (1 / 4, 1 / 4), (4 / 9, 1 / 9), (1 / 9, 4 / 9)$ .

Задача 9.15

(1)(2)(3)(4)

Исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра:

?

(1)

$4x^{2} + 2\lambda xy + y^{2} = 1$

(2)

$\lambda \left(x^{2} + y^{2}\right) - 10xy + x + y + 4 = 0$

(3)

$x^{2} - 2xy + y^{2}(\lambda - 1) + 2\lambda (x - y + 1) = 0$

(4)

$\lambda x^{2} - 2xy + 2y^{2} - 2x + 2y - 1 = 0$ .

Задача 9.16

Какие типы кривых второго порядка могут быть заданы уравнением:

?

(1)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} = A_{2} x + B_{2} y + C_{2}$

(2)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} + \left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right)^{2} = 1$

(3)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} - \left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right)^{2} = 1$

(4)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)\left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right) = 1$

(5)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)\left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right) = 0$ ?

Задача 9.17

(1)(2)

Составить уравнения асимптот гиперболы (Предполагается, что $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \neq 0$ ).

?

(1)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} - \left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right)^{2} = 1$

(2)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)\left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right) = 1$ .

Задача 9.18

Не используя уравнений (6) из введения к настоящей главе, доказать, что начало координат является центром симметрии кривой второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение кривой не содержит членов с первыми степенями переменных $x$ и $y$ . Опираясь на это утверждение, вывести уравнения (6) для координат центра кривой второго порядка.

?

Задача 9.19

(1)(2)(3)

Проверить, что данная кривая второго порядка является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр

?

(1)

$x^{2} - 8xy + 17y^{2} + 8x - 38y + 24 = 0$

(2)

$5x^{2} + xy - 4x - y - 1 = 0$

(3)

$8x^{2} - 24xy + 16y^{2} + 3x - 7y - 2 = 0$ .

Задача 9.20

Доказать, что кривая $Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$ имеет единственный центр симметрии тогда и только тогда, когда $\delta \neq 0$ .

?

Задача 9.21

Доказать, что множество центров симметрии кривой второго порядка либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией.

?

Задача 9.22

(1)(2)(3)

?

(1)

Доказать, что множество центров симметрии алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией.

(2)

Доказать, что множество центров симметрии произвольного множества точек на плоскости либо пусто, либо состоит из одной точки, либо бесконечно.

(3)

Привести пример непрерывной кривой, множество центров симметрии которой бесконечно, но не является прямой линией.

Кривые второго порядка в общей декартовой системе координат (9.11-9.22)