Поверхности вращения, цилиндры и конусы (10.18-10.45)

Привести примеры поверхностей вращения, которые являются алгебраическими поверхностями порядка $2, 3, 4$.

Назвать типы и выписать канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.

Привести примеры џилиндрических поверхностей, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 3, 4.

Привести пример цилиндрической поверхности, не являющейся алгебраической.

Привести примеры цилиндров и конусов, не являющихся поверхностями вращения.

Доказать, что всякое уравнение вида $F(x, y, z) = 0$, где $F$ — однородный многочлен, определяет конус с вершиной в начале координат.

Привести пример конической поверхности, не являющейся алгебраической.

Можно ли рассматривать плоскость как частный случай конической поверхности? Как частный случай цилиндра? Как поверхность вращения?

Составить векторное уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $R$, имеющего ось $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$.

Составить векторное уравнение сферы с центром в точке $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ и радиусом $R$.

Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ и осъю $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$, зная, что угол между его образующей и осью равен $\alpha$.

Составить векторное уравнение эллипсоида, получаемого вращением эллипса с фокусами в точках $M_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right), M_{2}\left(\mathbf{r}_{2}\right)$ и большой полуосью $a$ вокруг большой оси эллипса.

Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы $z^{2} = x$:

Найти уравнение и определить тип поверхности, получаемой вращением гиперболы $x^{2} - y^{2} = 2$:

Найти уравнение поверхности, получаемой вращением окружности $x^{2} + y^{2} - 4x + 3 = 0$ вокруг оси $Oy$.

Найти уравнения поверхностей, получаемых вращением гиперболы $xy = 1$ вокруг асимптот.

Доказать, что цилиндрическая поверхность с направляющей, заданной параметрическими уравнениями $x = \varphi (t), y = \psi (t), z = \chi (t)$, и с образующей, параллельной вектору $\mathbf{a}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, определяется уравнениями $x = \varphi (u) + a_{1} v$, $y = \psi (u) + a_{2} v, z = \chi (u) + a_{3} v$.

Доказать, что конус с направляющей, заданной параметрическими уравнениями $x = \varphi (t), y = \psi (t), z = \chi (t)$, и с вершиной в начале координат определяется уравнениями $x = u\varphi (v), y = u\psi (v), z = u\chi (v)$.

Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $\sqrt{2}$ с осью $x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t$.

Найти уравнение прямого кругового цилиндра, проходящего через точку $M(1, 1, 2)$ и имеющего ось $x = 1 + t$, $y = 2 + t, z = 3 + t$.

Найти уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале координат и направлением оси, определяемым вектором $\mathbf{a}(1, 1, 1)$, зная, что образующие конуса составляют с его осью угол $\arccos (1 / \sqrt{3})$.

Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой $x = 1 + t, y = z = 3 + t$ вокруг оси $\mathrm{Oz}$.

Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой $x = 0, y - z + 1 = 0$ вокруг оси $\mathrm{Oz}$.

Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой $x = - t, y = z = 2t$ вокруг прямой $x = y = z$.

Найти уравнение конуса с вершиной в точке $M(1, 1, 1)$, касающегося сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$.

Найти параметрические уравнения цилиндра с образующей, параллельной вектору $\mathbf{a}(1, 1, 1)$, и направляющей, заданной уравнениями $x = - 1 + 2\cos t, y = - 1 + 2\sin t, z = 3 - - 2\cos t - 2\sin t$.

Исключив параметры, получить алгебраическое уравнение поверхности $x = u + \cos v, \quad y = u + \sin v, \quad z = u - - \cos v - \sin v$. Что это за поверхность?